学习数学要注重“数感” 作者 | 殷堰工 提到日本的小平邦彦，无论是数学界还是数学教育界，都是绝对的大神级人物，作为数学界最负盛名的菲尔兹奖（1954 年）和沃尔夫奖（1984 年）的双料得主，小平邦彦先生在数学上的杰出贡献以及对他工作认可乃是毋庸置疑的。我知道他的大名，还是在上个世纪的 1979 年参加高考前夕，看过小平邦彦主编的日本高中数学教材《数学》，印象比较深的是教科书中的向量和概率等内容，因为不在当时的数学考纲范围，故教师没有教，自然也就看不懂。这次同行友人给我寄来了小平邦彦的思想随笔集《惰者集——数感与数学》（人民邮电出版社，2019，第 5 版），在闲暇之余浏览后，感触良多。对大多数人而言，基本的认知是音乐有“乐感”，语文有“语感”，那么被称为“天地万物最根本的东西”的数学呢？小平邦彦的书名中就出现了“数感”的概念，书之内容提要更可谓开宗明义：理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。由此引发了我的一些想法，权作读后感吧。 小平邦彦写道：理解数学相当于“观察”数学现象。这里所说的“观察”不是指“用眼观看”，而是通过一定感觉所形成的感知。虽然很难用言语去描述这种感觉，不过这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉，在我看来这种感知几乎接近于视觉。或许我们可以称之为直觉，不过为了凸显其纯粹性，在接下来的表述中，我将其称为“数感”。他指出：数感是通过一定感觉所形成的感知，这是明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉。这种感觉与聪明无关。正像乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人无法理解数学。他强调：初等教育阶段的数学教学并不是为了片面地讲授数学各个领域的知识，而是为了培养数学思考能力和数感。 数感，现已成为我国小学数学教育中最重要的主题。《义务教育数学课程标准（2011 版）》（简称《课标》）中，将数感作为需要注重发展的十个核心概念之一（另九个核心概念为：符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识，其中，应用意识和创新意识是从时代发展对人才培养的需要这个高度提出的），并且给出了定义：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。尽管这个定义在数学意义上来说并不是很严格，但至少让人了解了大概。美国国家数学教师委员会则对“数感”的定义更加简单：一种数的直觉。笔者曾在小学数学教学期刊上看到过这样的定义：数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，是人的一种基本的数学素养。以上定义的表述虽然有所不同，但内涵是一致的，就是“三感”：感觉、感悟、感触，可谓殊途同归。必须指出的是，数感并不是为了学习数学而被定义出来的概念，它本身就贯穿于我们的生活中。《课标》在关于学习内容的说明中指出，数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果；并对结果的合理性进行解释。从数学教育培养学生能力的要求去领会，数感是理解数，理解抽象和具象之间关系的能力。如果将人类的思维分成理性和感性，数感就是基于充分的理性经验和思考，得到的一种感性直觉，它是理性思维和感性思维的汇合点。从前苏联教育家加里宁的名言“数学是训练思维的体操”以及培养学生思维是数学教学的核心角度出发，数感是一个极好的思维载体，是数学教学中的目标点。小学数学教学的无数实践表明，建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 比如，当孩子看到桌子上有一个方形的小铁盒和一堆大白兔奶糖，会发生什么?有些孩子会有意识地对两者进行比较，考虑如果把这堆糖装在盒子里能不能装下，能不能装满！这就是数感在起作用。事实上，一个数感好的孩子如果看到 98 这个具体的数时，不仅会想到它是“90+8”，也是“100-2”，还是 49 的 2 倍。于是，当计算类似“98+76”时，他就不需要使用竖式，直接从 76 中拿 2 个给 98。心算一下就知道是 174 了。当计算类似“98+49+50+52”时，他也不会去列竖式，而是在自己的脑中完成以下的计算过程：98+49+50+52=50 × 5 -2-1+2=249 确实，数感的作用大而广，不妨用一个公务员招聘的题目予以说明：有这样一组数 8 27 64 216，选择支是 A．125；B．100；C．160；D．121，请在 A、B、C、D 的选项中将正确的填在括号内。从 8 27 64 216 这四个数发现分别是 2,3,4,6 的立方，马上得出应该是 5 的立方，即选 A，这是体现数感作用的一个具有说服力的例子。 从上不难看出，数感是对数字，对量的感知度。建立数感可以理解为“数学地”思考与数量有关的问题，它使人所看到的世界有了量化的意味。数感也是人的一种基本素养。培养数感，乃是小学数学教育的重要目标，我们应该把培养学生的数感作为小学数学教学的一个重要任务贯穿始终，让数感真正在数学课堂上落地生根，开花结果。顺便说一下，北京师范大学出版社 2007 年出过一本由朱莉娅·安吉莱瑞著的书《如何培养学生的数感》，主要讲述了数感的由来和培养的方法以及学生拥有数感的重要性。国内的有石迎春主编的《怎样培养学生的数感》（吉林大学出版社，2013），至于各级各类教育教学、小学数学期刊上关于培养学生数感的文章堪称林林总总，广大小学数学教师可学习参考。 作者简介：殷堰工，江苏省中职首批正高级讲师、苏州大学硕士生导师、苏州科技大学兼职教授。曾结集出版个人已发表的论文 20 万字的《数学解题策略精编》（上海科技教育出版社，1994）及发表过的数学科普作品 20 万字的《数坛英才录》（江苏教育出版社,2008）。 《惰者集——数感与数学》 作者：小平邦彦 出版社：人民邮电出版社/图灵新知 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c1c21eb7393567ec102de2bd960590c69fc3d825.html