海伦—秦九韶公式 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记Sp(pa)(pb)(pc) ① pabc，2那么三角形的面积 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 122a2b2c22S[ab()]42. ② 下面我们对公式②进行变形： 122a2b2c22[ab()]42 1a2b2c222（ab）()24= =====1a2b2c21a2b2c2(ab)(ab)2424 2aba2b2c22aba2b2c2442（ab）c2c2(ab)244 abcabcacbbca2222p(pa)(pb)(pc). 这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称① 为海伦—秦九韶公式. 供参考 证明过程 ①海伦公式的证明 证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么由于AD是△ABD、△ACD的公共边， 则h2=c2-x2=b2-（a-x）2， 解出x得x=c2-b2+a22a， 于是h=c2-b2+a2c2-（22a）， S11c2-b2+a2△ABC的面积=222ah=2a·c-（2a）， 即S=1c2a2-（c2+a2-b222）2， 令p=12（a+b+c）， 对被开方数分解因式，并整理得到 S=p(pa)(pb)(pc). 得证. ②由海伦公式推导秦九韶公式 秦九韶公式：S14[a2b2(a2b2c222)]. 推导过程: p(pa)(pb)(pc). 供参考 DC = a-x, 1（2p2a）(2p2b)2p(2p2c)=16 1（cab）(cab)(abc)(abc)16= 12[c(ab)2][(ab)2c2]=16 14a2b2(a2b2)2(a2b2)c2(c2)2[]4=44 122a2b2c22[ab()]42=. 122a2b2c22[ab()]p(pa)(pb)(pc)42故=. 供参考 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c75e2e87df88d0d233d4b14e852458fb770b3899.html