海伦—秦九韶公式 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记Sp(pa)(pb)(pc) ① pabc，2那么三角形的面积 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 122a2b2c22S[ab()]42. ② 下面我们对公式②进行变形： ======1a2b2c222（ab）()24 1a2b2c21a2b2c2(ab)(ab)2424 2aba2b2c22aba2b2c2442（ab）c2c2(ab)244 abcabcacbbca2222p(pa)(pb)(pc). 这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称① 为海伦—秦九韶公式. 证明过程 ①海伦公式的证明 证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x, 由于AD是△ABD、△ACD的公共边， 则h2=c2-x2=b2-（a-x）2， c2-b2+a2解出x得x=， 2ac2-b2+a22于是h=c-（）， 2a211c2-b2+a222S△ABC的面积=ah=a·c-（）， 222a1即S=212c2+a2-b22ca-（）， 222令p=（a+b+c）， 对被开方数分解因式，并整理得到 S=p(pa)(pb)(pc). 得证. ②由海伦公式推导秦九韶公式 122a2b2c22S[ab()]42秦九韶公式：. 推导过程: p(pa)(pb)(pc). 1（2p2a）(2p2b)2p(2p2c)16= 1（cab）(cab)(abc)(abc)16= 12[c(ab)2][(ab)2c2]=16 14a2b2(a2b2)2(a2b2)c2(c2)2[]444= 122a2b2c22[ab()]2=4. 122a2b2c22[ab()]p(pa)(pb)(pc)2故=4. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/42f9290316791711cc7931b765ce050877327551.html