全国数学竞赛综合试题分类篇

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全国数学竞赛综合试题分类篇

第一类：一元二次方程的整数根问题

试题1. 求实数k，使得关于x的方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数（中等数学1999年第5期）

x2kx3

3xk的解，求实数k的取试题2.在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程

x1

值范围。（中等数学2001年第3期）

试题3. 试求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一个整数根。（中等数学2003年第5期）

试题4. 设p是质数，k是正整数。求证方程xpxkp10至少有一个整数根的充分必要条件是k1。（中等数学2003年第6期）

试题5. 设a,b,c为互不相等的实数，且c1，已知关于x的方程xax10和xbxc0有一个公共根，方程xxa0和xcxb0有一个公共根，试求abc的值。（中等数学2002年第6期）

试题6. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx(r2)x3r20有根且只有整数根。试题7. 求出所有的实数k，使得关于x的一元二次方程kx22(3k1)x9k10的两个根都是整数。（中等数学2005年第3期）

2

2

2

2

2

2

3

m10①与2x2(m6)xm240若4

方程①的两个实数根的平方和等于方程的一个整数根，求m的值。（中等数学2006年第10期）

试题8. 已知关于x的一元二次方程xmx

2

2

试题9.已知方程ax4xb0(a0)的两个为x1,x2，方程ax3xb0的两根为，。

2

（1）若a,b为整数，且1，求a,b的值。

2x11x2。（中等数学2007年第5期）（2）若12,x1x2求证：

试题9.已知方程xa1xa2a30与方程xa2xa1a30有且只有一个公共根。求证：这两个方程的另外两个根是方程xa3xa1a20的两个根。（中等数学2000年第4期）试题10. 若关于x的方程

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2

2

2kxkx12只有一个解，求k的值。（中等数学2000年第4期3） x1xxx

2

2

2

试题11. 已知关于x的一元二次方程x2(a2b3)x(a4b99)0有不相等的实数

1

根，则满足条件的有序正整数(a,b)有多少对？（中等数学2006年第8期）

试题12. 已知关于x的方程kx2(k26k6)x6k360的根都是某个等腰直角三角形的边长，求k的值。（中等数学2011年第5期）

试题13. 已知关于x的一元二次方程(k26k8)x2(2k26k4)xk240有两个整数根，求实数k的值。（中等数学2011年第7期）

试题14.已知a,b为整数,且ab,方程3x23(ab)x4ab0的两个根,满足关系式

(1)(1)(1)(1)试求所有的整数点对(a,b).（1997年全国初中数学联赛试题）

试题15.已知a是正整数，如果关于x的方程x(a17)x(38a)x560的根都是整数，求a的值及方程的整数根.（2007年全国初中数学联合竞赛）

试题15.已知一元二次方程xaxb0有两个连续的整数根，一元二次方程xbxa0要整数根，求a,b的值。（中等数学2004年第5期）第二类：二次函数（抛物线）类问题试题1 在直角坐标系中，抛物线y

2

2

32

42254

xmxm与x轴交于A,B两点，已知点A在9993

x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，BD的长是AO的2倍（即BO2AO)点C为抛物

线的顶点。（2）求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线的对称轴上且⊙P与x轴，直线BC都相

切，求点P的坐标。（中等数学2001年第6期）

试题2 如图，开口向下的抛物线yax8ax12a与x正半轴交于A,B两点，（点A在点B的左侧），抛物线上另一点C在第一象限，且使OCA~OBC。（1）求OC的长及

2

（2）设直线BC与y轴交于点P，当C点是BP的中点时，求直线BC和抛物线的解析式。（中等数学2000年第6期）

试题3 二次函数yxpxq的图像经过点（2，-1）且与x半轴交于不同的两点

2

BC

的值。 AC

A（a,0)，B(b,0)。设图像的顶点为M。求使AMB面积最小时的二次函数的解析式。（中

等数学2002年第5期）

试题4 如图抛物线yxpxq若有两点A(a,y1),B(b,y2)(0ab)在x轴下方，则抛物线与x轴有两个交C(x1,0)D(x2,0)（其中x1abx2），（1）请对上述直观结论给出严格的

2

)且x1,x2均为整数时，求二次函数的解析式。（中等数学2006年第2证明。（2）当A(1,2005

期）

2

试题5 已知a是大于2005的正整数，b,c为整数，抛物线yax2bxc在x轴上方，且过点

A(1，4a7),A(3,4a-1)两点，求abc的最小值。（中等数学2005年第5期）

试题6 已知一个两位数，其十位数字与个位数字分别为p,q二次函数yx2qxp的图像与x轴交于不同的两点A,B顶点为C，且SABC≤1。

（1）求q4q的值；（2）求出所有这样的两位数pq。（中等数学2004年第1期）试题7 求二次函数yx22x3绕点A（3,0）旋转90后所得抛物线的解析式。（中等数学2006年第3期）

试题8 二次函数yx4x3的顶点为P，过点的直线AB与抛物线相切，且直线AB（，-）经过第一，二，四象限与x轴y轴分别交于A,B两点，求点P到直线AB的距离。（中等数学2007年第9期）

试题9 方程x22x10的两个根为，。试求二次函数f(x)，满足

2



2

2

3

274

f(),f(),f(1)1.（中等数学1998年第6期）

2

试题10 已知m是实数，函数ymx4xm5在2x2内有实数根，求

实数m的取值范围。（中等数学2011年第12期）

2

试题11 已知二次函数yx(m3)xm2，当1x3时，恒有y0；

关于x的方程x(m3)xm20两个实数根的倒数和小于-等数学2012年第5期）

2

9

，求m的取值范围。（中10

2

试题12 已知抛物线yaxbx2与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)且x1,x2是方程

x2x60的两个实数根，C为抛物线与y轴的交点。（1）求抛物线的对称轴；（2）求直线

AC,BC的解析式；（3）如果动直线ym（0m2）

与线段AC,BC分别交于D,E两点，那么在x轴上是否存在点P，使得DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由。（中等数学2012年第8期）

2

试题13设m,n为正整数，且m2，如果对一切实数t，二次函数yx(3mt)x3mt的图

象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求m,n的值.（2007年全国初中数学联合竞赛）试题14 已知a,b,c为正整数，且二次函数yaxbxc的图像与x轴交于点A,B。若A,B到原点O的距离都小于1，求abc的最小值。（中等数学2007年第5期）

2

3

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3e3316b1112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada32.html

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