高二数学求定积分的四种方法知识点分析大纲试题

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本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

求定积分的四种方法

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考察的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法例1 用定义法求



2

0

x3dx的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：〔1〕分割：把区间[0，2] 分成n等分，那么△x＝

2i

〔2〕近似代替：△Sif(i)xx

n

n

2i2i2

〔3〕求和：Six•.

ni1i1ni1n

n

n

3

33

2

． n

224

〔4〕取极限：S=lim

nnnn

33

2n

n

3

3

 

2433

＝lim412

nn2412

nn(n1)2] 4lim[nn4

4(n22n1)

＝lim＝4．

nn2∴



2

0

x3dx=4．.

评注：此题运用微积分的根本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比拟困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，表达的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分根本定理法例2 求定积分



2

1

(x22x1)dx的值.

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

分析：可先求出原函数，再利用微积分根本定理求解．

x3

解：函数y＝x2x1的一个原函数是y＝x2x．

3

2

所以.

2

1

x381192

＝4211＝． (x2x1)dx＝(x2x)|1

3333

2

评注：运用微积分根本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分



1

1

(1x2)dx的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的积，只要作出图形就可求出．

解：

y

1

面



1

1

(1x2)dx表示圆x＋y＝1在第一、

2

2

1

o

1

x二象

限的上半圆的面积．

因为S半圆所以



2

，又在x轴上方．



1

1

(1x2)dx＝



2

．

评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法

例4 求以下定积分：



⑴

tanxdx；⑵

44





x2sinx

dx． x21

分析：对于⑴用微积分的根本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．假设运用奇偶函数在对称区间的积分性质，那么能迎刃而解．

x2sinx

解：由被积函数tanx及2是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．

x1



所以⑴

tanxdx＝0；

44

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

⑵







x2sinx

dx＝0． x21

评注：一般地，假设f(x)在[－a，a]上连续，那么有性质：①当f(x)为偶函数时，



a

a

f(x)dx＝2f(x)dx；②当f(x)为奇函数时，

0

a



a

a

f(x)dx＝0．

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e33bab2bbdd5b9f3f90f76c66137ee06eff94e1d.html

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