浅谈三角形面积的向量求法 向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用． 公式 ABC中，若向量CBa，CAb，则SABC122ab(ab)2． 2222证明 SABC11absina,b221ab(1cosa,b)222ab(ab)2． １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC，点A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，求ABC的面积． 解：∵AB(3,1)，AC(2,4)，∴AB10，AC∴SABC2220，ABAC10， 12ABAC(ABAC)222110201005． 20000例2．已知ABC中，向量BA(cos23,cos67)，BC(2cos68,2cos22)，求ABC的面积． 00BC(2sin220,2cos220)，解：由已知，得BA(cos23,sin23)，∴BA1，BC2， 00000∴BCBA2(sin22cos23cos22sin23)2sin452． ∴SABC12BCBA(BCBA)2222． 2２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx)，Q(cosx,sinx)，x[原点，求OPQ面积的最值． 解：,]，O为坐标2412SOPQ12OPOQ(OPOQ)2221111(2sinxcosx)21sin22xcos2x． 222∵x[2412,]， ∴当x12时，OPQ面积的最小值为3；当x0时，OPQ面积4的最大值为1． 2３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB中,OAa，OBb，且ab3,ab2，求OAB面积的最大值． 解：∵ab3,ab2，∴a2abb9，a2abb4，解得ab ab2222225， 4∴132ab(ab)222，2SOAB1212a2b222251253，当且仅当ab1621622ab13时，取“=”号． 2例5.已知向量OAa(cos,sin)，OBb(cos,sin)，a与b之间有关系式kab3akb，（k0，且k23），O为坐标原点，求AOB面积的最大值，并求此时a与b的夹角． 解：将kab3akb两边平方，得k2a2kabb3(a2kabk2b) 22∵ab1，∴k2kab13(12kabk)，又∵k0，∴ab2222111 (k)，4k2号．∴当且仅22当k1时取“=”SAOB为12ab(ab)211311， ∴AOB面积的最大值1(ab)224423ab11，∵001800，∴600． ，此时ab，∴cos42ab2新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ee445e7069d97f192279168884868762caaebbe9.html