2017天津奥数|2017初中奥数计数问题练习题

求解排列组合的综合问题，一般是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏.常见的解题策略有以下几种：
1、特殊位置(或元素)优先安排
例1、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(　)
A、18　　　　　B、24　　　　C、30　　　　D、36
解析：
必有一个班分了两名学生，先选两名学生分到一个班且甲、乙两名学生不能分到一个班，有种选法，选好后三组学生进行全排列有种分法，由乘法原理，共有5×6=30种分法，故选C.
2、合理分类与准确分步
例2、从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是____________(用数字作答).
解析：
(1)每排中只有数字0的排法有;
(2)每排中只有字母P或Q的排法都有;
(3)每排中无数字0，字母P、Q的排法有.
所以不同的排法种数共有：
3、排列、组合混合问题先选元(组合)后排列
例3、从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(　)
A、432　　　　B、288　　　C、216　　　　D、108
解析：
首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排.则共有个，故选C.
4、正难则反、等价转化
例4、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个.
解析：
用排除法解决.
(1)总的四位数有;
(2)个位数字为0的四位数有;
(3)个位数字为5的四位数有.
所以符合条件的四位数个数共有：

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