[北师大版八年级上册数学教案]（2016）北师大版八年级上册数学期末试卷及答案

一、选择题（题型注释）
1．已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是（　　）
A．4＜c＜12 B．12＜c＜24 C．8＜c＜24 D．16＜c＜24
2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a=5a2 B．x2﹣4=（x+2）（x﹣2） C．（x+1）2=x2+1 D．（2a）3=6a3
5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． +4=9 D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是（　　）

A．24 B．30 C．32 D．34
8．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD：DC=9：7，则点D到AB的距离为（　　）
A．18cm B．16cm C．14cm D．12cm
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
10．计算2x3•（﹣x2）的结果是（　　）
A．﹣2x5 B．2x5 C．﹣2x6 D．2x6
　
二、填空题（题型注释）
11．分解因式：m2n﹣2mn+n=　　　　　　．
12．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确：　　　　　　，理由是　　　　　　．
13．已知：a+b= ，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是　　　　　　．
14．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是　　　　　　．（只填一个即可）

15．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=　　　　　　；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有　　　　　　个．
16．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有　　　　　　条对角线．
17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=3，则点D到AB的距离是　　　　　　．

18．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是　　　　　　．
19．计算： =　　　　　　．
20．已知x为正整数，当时x=　　　　　　时，分式 的值为负整数．
　
三、计算题（题型注释）
21．计算：
（1）﹣22+30﹣（﹣ ）﹣1
（2）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
（3）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
（4）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
22．解方程： ．
23．先化简，再求值： ，其中x=2，y=﹣1．
　
四、解答题（题型注释）
24．化简求值：
（1） ，其中a=﹣ ，b=1
（2） ，其中x满足x2﹣2x﹣3=0．
25．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，求该种干果的第一次进价是每千克多少元？
26．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．

27．己知：如图，E、F分别是▱ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．

一、选择题（题型注释）
1．已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是（　　）
A．4＜c＜12 B．12＜c＜24 C．8＜c＜24 D．16＜c＜24
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系可求得a的范围，进一步可求得周长的范围．
【解答】解：∵三角形的三边分别为4，a，8，
∴8﹣4＜a＜8+4，即4＜a＜12，
∴4+4+8＜4+a+8＜4+8+12，即16＜c＜24．
故选D．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
　
2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意．
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
　
3．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°=360°，
n﹣2=2，
n=4．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
　
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a=5a2 B．x2﹣4=（x+2）（x﹣2） C．（x+1）2=x2+1 D．（2a）3=6a3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．
【分析】A选项利用合并同类项得到结果，即可做出判断；B选项利用平方差公式计算得到结果，即可做出判断；C选项利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D选项利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、3a+2a=5a，故原题计算错误；
B、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故原题分解正确；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故原题计算错误；
D、（2a）3=8a3，故原题计算错误．
故选B．
【点评】此题主要考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，关键是熟练掌握各计算法则．
　
5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【解答】解：过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°，
∴∠2=∠3=20°．
故选A．

【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
　
6．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． +4=9 D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题．
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
所列方程为： + =9．
故选A．
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
　
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是（　　）

A．24 B．30 C．32 D．34
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，可得AD=BD，又由BC=10，△DBC的周长为22，可求得AC的长，继而求得答案．
【解答】解：∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，
∴AD=BD，
∵△DBC的周长为22，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22，
∵BC=10，
∴AC=12，
∵AB=AC，
∴AB=12，
∴△ABC的周长为12+12+10=34，
故选D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
8．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD：DC=9：7，则点D到AB的距离为（　　）
A．18cm B．16cm C．14cm D．12cm
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据题意画出图形分析．根据已知线段长度和关系可求DC的长；根据角平分线性质解答．
【解答】解：如图所示．
作DE⊥AB于E点．
∵BC=32，BD：DC=9：7，
∴CD=32× =14．
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥DE，
∴DE=DC=14．
即D点到AB的距离是14cm．
故选C．

【点评】此题考查角平分线的性质，属基础题．
　
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
　
10．计算2x3•（﹣x2）的结果是（　　）
A．﹣2x5 B．2x5 C．﹣2x6 D．2x6
【考点】单项式乘单项式．
【分析】先把常数相乘，再根据同底数幂的乘法性质：底数不变指数相加，进行计算即可．
【解答】解：2x3•（﹣x2）=﹣2x5．
故选A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，牢记同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题的关键．
　
二、填空题（题型注释）
11．分解因式：m2n﹣2mn+n=　n（m﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2．
故答案为：n（m﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
12．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确：　不正确　，理由是　两边之和不大于第三边　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】根据等腰三角形的性质，确定出另外两边后，还需利用“两边之和大于第三边”判断能否构成三角形．
【解答】解：当另两条边长为3、6时，
∵3+3=6，
不能构成三角形，
∴另两条边长为3、6错误；
当另两条边长为4.5、4.5时，
4.5+3＞4.5，
能构成三角形；
∴另两条边长为3、6或4.5、4.5，不正确，
故答案为：不正确，两边之和不大于第三边．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，利用三角形三边关系作出判断是解答此题的关键．
　
13．已知：a+b= ，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是　2　．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整体思想．
【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．
【解答】解：（a﹣2）（b﹣2）
=ab﹣2（a+b）+4，
当a+b= ，ab=1时，原式=1﹣2× +4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想．
　
14．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是　BD=CE　．（只填一个即可）

【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．
【解答】解：BD=CE，
理由是：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．
　
15．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=　6　；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有　2　个．
【考点】分式有意义的条件；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，
∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，
∴a=6；
当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，
∵a＜6，
∴△=25﹣4a＞0，
故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，
即使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6，2．
【点评】本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根的判别式．（2）中要求当a＜6时，使分式无意义的x的值的个数，就是判别当a＜6时，一元二次方程x2﹣5x+a=0的根的情况．
　
16．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有　6　条对角线．
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180=1260，
解得；x=9，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9﹣3=6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n﹣2）．
　
17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=3，则点D到AB的距离是　3　．

【考点】角平分线的性质．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故答案为：3．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
　
18．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是　a＜﹣1且a≠﹣2　．
【考点】分式方程的解．
【分析】先去分母得2x+a=x﹣1，可解得x=﹣a﹣1，由于关于x的方程 的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
【解答】解：去分母得2x+a=x﹣1，
解得x=﹣a﹣1，
∵关于x的方程 的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
【点评】本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．
　
19．计算： =　 　．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：
=
=
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
　
20．已知x为正整数，当时x=　3，4，5，8　时，分式 的值为负整数．
【考点】分式的值．
【分析】由分式 的值为负整数，可得2﹣x＜0，解得x＞2，又因为x为正整数，代入特殊值验证，易得x的值为3，4，5，8．
【解答】解：由题意得：2﹣x＜0，解得x＞2，又因为x为正整数，讨论如下：
当x=3时， =﹣6，符合题意；
当x=4时， =﹣3，符合题意；
当x=5时， =﹣2，符合题意；
当x=6时， =﹣ ，不符合题意，舍去；
当x=7时， =﹣ ，不符合题意，舍去；
当x=8时， =﹣1，符合题意；
当x≥9时，﹣1＜ ＜0，不符合题意．故x的值为3，4，5，8．
故答案为3、4、5、8．
【点评】本题综合性较强，既考查了分式的符号，又考查了分类讨论思想，注意在讨论过程中要做到不重不漏．
　
三、计算题（题型注释）
21．计算：
（1）﹣22+30﹣（﹣ ）﹣1
（2）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
（3）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
（4）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用积的乘方及幂的乘方 运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣4+1﹣（﹣2）=﹣4+1+2=﹣1；
（2）原式=﹣8a3+9a3=a3；
（3）原式=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+8ab=﹣4ab+9b2；
（4）原式=m2﹣（2n﹣3）2=m2﹣4n2+12n﹣9．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
22．解方程： ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5（x﹣1）﹣（x+3）=0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
23．先化简，再求值： ，其中x=2，y=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先对分式进行化简，把分式化为最简分式，然后把x、y的值代入即可．
【解答】解：
=
= •
= ，
当x=2，y=﹣1时，原式= = ．
【点评】本题主要考查分式的化简、分式的四则混合运算、分式的性质，解题关键在于把分式化为最简分式．
　
四、解答题（题型注释）
24．化简求值：
（1） ，其中a=﹣ ，b=1
（2） ，其中x满足x2﹣2x﹣3=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=1﹣ • =1﹣ = = ，
当a=﹣ ，b=1时，原式=4；
（2）原式= •（x﹣1）=x2﹣2x﹣1，
由x2﹣2x﹣3=0，得到x2﹣2x=3，
则原式=3﹣1=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
25．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，求该种干果的第一次进价是每千克多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得 =2× +300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
　
26．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先由等角对等边得出AB=CB，再由HL证明Rt△EAB≌Rt△DCB，得出对应角相等即可．
【解答】证明：在△ABC中，∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB，
∵∠BAE=∠BCD=90°，
在Rt△EAB和Rt△DCB中，
，
∴Rt△EAB≌Rt△DCB（HL），
∴∠E=∠D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
27．己知：如图，E、F分别是▱ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定；平行四边形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定，在△ABE和△CDF中，很容易确定SAS，即证结论；
（2）在已知条件中求证全等三角形，即△ABE≌△CDF，△MBF≌△NDE，得两对边分别对应相等，根据平行四边形的判定，即证．
【解答】证明：（1）∵▱ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF；
（2）四边形MFNE平行四边形．
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
又∵ME=BM= BE，NF=DN= DF
∴ME=NF=BM=DN，
又∵∠ABC=∠CDA，
∴∠MBF=∠NDE，
又∵AD=BC，
AE=CF，
∴DE=BF，
∴△MBF≌△NDE，
∴MF=NE，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．

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