高三数学题及解答|高三数学练习题及答案：基本不等式

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　　1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()

　　A.有值-2B.有最小值2

　　C.无值和最小值D.无法确定

　　答案：B

　　2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的值是()

　　A.400B.100

　　C.40D.20

　　答案：A

　　3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.

　　答案：24

　　4.已知f(x)=12x+4x.

　　(1)当x>0时，求f(x)的最小值;

　　(2)当x<0时，求f(x)的值.

　　解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.

　　∴12x+4x≥212x•4x=83.

　　当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，

　　∴当x>0时，f(x)的最小值为83.

　　(2)∵x<0，∴-x>0.

　　则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83，

　　当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.

　　∴当x<0时，f(x)的值为-83.

　　一、选择题

　　1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

　　A.x+12xB.x2-1+1x2-1

　　C.2x+2-xD.x(1-x)

　　答案：C

　　2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

　　A.32-3B.-3

　　C.62D.62-3

　　解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

　　3.已知m、n∈R，mn=100，则m2+n2的最小值是()

　　A.200B.100

　　C.50D.20

　　解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

　　4.给出下面四个推导过程：

　　①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba•ab=2;

　　②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx•lgy;

　　③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a•a=4;

　　④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

　　其中正确的推导过程为()

　　A.①②B.②③

　　C.③④D.①④

　　解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

　　①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

　　②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;

　　③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

　　∴4a+a≥24a•a=4是错误的;

　　④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

　　5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()

　　A.2B.22

　　C.4D.5

　　解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

　　6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

　　A.值64B.值164

　　C.最小值64D.最小值164

　　解析：选C.∵x、y均为正数，

　　∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy，

　　当且仅当8x=2y时等号成立.

　　∴xy≥64.

　　二、填空题

　　7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

　　答案：1

　　8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

　　解析：1=x+4y≥2x•4y=4xy，∴xy≤116.

　　答案：大116

　　9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的值为________.

　　解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.

　　当且仅当x3=y4时取等号.

　　答案：3

　　三、解答题

　　10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

　　(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

　　解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.

　　∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

　　≥2x+1•4x+1+5=9，

　　当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

　　∴x=1时，函数的最小值是9.

　　(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

　　=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.

　　∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.

　　当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

　　∴y有最小值8.

　　11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.

　　证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，

　　∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，

　　同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，

　　以上三个不等式两边分别相乘得

　　(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

　　当且仅当a=b=c时取等号.

　　12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

　　问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

　　解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

　　总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

　　=800×(x+225x)+12000

　　≥1600x•225x+12000

　　=36000(元)

　　当且仅当x=225x(x>0)，

　　即x=15时等号成立.

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