高二数学教案：二项式定理(2)

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二项式定理（2）

一、课题：二项式定理（2）

二、教学目标：1．进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用；

r

2．能求展开式中的第r1项的二项式系数Cn与第r1项的系数是不同的

概念。

三、教学重点、难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。四、教学过程：（一）复习：

1．二项式定理及其特例：

0n1nrnrrnn

（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)， 1rr （2）(1x)n1CnxCnxxn.

rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab.

（二）新课讲解：

例1 （1）求(12x)7的展开式的第四项的系数；

3

（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数。

19x

3

解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

7

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x

191r9r

()r(1)rC9rx92r，

xx∴92r3，r3，

333∴x的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

4

例2 求(x3x4)的展开式中x的系数。

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开。

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01

C4(x23x)4C4(x23x)34

234C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

33

∴展开式中含x的项的系数是C434768

24444

（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

04132234

(C4xC4xC4xC4xC4)

04132234(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433

∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

2

2424

- 1 -

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例3 已知f(x)12x14x (m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，

m

n

求展开式中含x项的系数最小值。

分析：展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，

可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解。

1111解：12x14x展开式中含x的项为Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

m

n

2

2

11

∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

12x

m

14x展开式中含x2的项的系数为

n

2222

2Cn42m22m8n28n， tCm

∵m2n18， ∴m182n，

∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612

3715337

时，t取最小值， 16(n2n)，∴当n

448*2

但nN，∴ n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例4 已知(x1)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

24x

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

解：由题意：2Cn

r

8

222

1

1121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去） 22

1

r

163rrrr

1rr8rC80r8 24 ∴Tr1Cx(4)()C8xx1rx4222xrZ

①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，∵rZ，这不可能，∴展开

4

式中没有常数项；



8r

②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，∴0r8,rZ，∴ r0,4,8，

4

即展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T535x，T91x2.

8256

五、课堂练习：课本第107页练习第5，6题。

六、课堂小结：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，

转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。

七、作业：课本第143页复习参考题十第12题，

补充： 1．已知x3a8的展开式中x的系数是ax19展开式中倒数第四项的系数的2倍，求 a,a,a,a,前n项的和；

1

2．(xx4)n的展开式中第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中

x

常数项。

- 2 -

2

3

n

3

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/010d2f05cc175527072208f7.html

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