第4课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】 知识网络 学习要求 1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等差数列的概念; 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法,掌握等差数列的通项公式,并能用公式解决一些简单的问题; 【自学评价】 1.等差数列的通项公式: ①普通式:ana1(n1)d; ②推广式:anamnmd; ③变式:a1an(n1)d; dana1n1;danamnm; 注:等差数列通项公式的特征:等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0). 2.等差数列的单调性:由等差数列的定义知an+1-an=d, 当d>0时an+1>an即{an}为递增数列; 当d=0时,an+1=an即{an}为常数列; 当d<0时,an+1<an即{an}为递减数列. 注:等差数列不会是摆动数列. 【精典范例】 【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算. (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)2019年北京奥运会是第几届?2019年举行奥运会吗? 【解】 (1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) 第1页 =1892+4n (n∈N). (2)假设a听课随笔 n=2008,由2008=1892+4n,得n=29.假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解. 答 所求通项公式为an=1892+4n (n∈N),2019年北京奥运会是第29届奥运会,2019年不举行奥运会. 【例2】在等差数列{an}中, 已知a3=10,a9=28,求a12. 【解】 a12=4+(12-1)×3=37 【例3】某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径. 【解】用{an}表示滑轮的直径所构成的等差数列,且a1=15,a6=25.由等差数列的通项公式,得 a6=a1+(6-1)d, 即25=15+5d,解得d=2. 由此得a2=17,a3=19,a4=21,a5=23. 答 中间四个滑轮的直径顺次为17cm,19cm,21cm,23cm. 【追踪训练一】: 1.已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( ) A.36 B.30 C.24 D.18 2.等差数列an中,a2与a6的等差中项为5,a3与a7的等差中项为7,则an 2n3. 3.诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星,并推算出在1823年、1906年、1989年……人们都可以看到这颗彗星,即彗星每隔83年出现一次. (1)从发现那次算起,彗星第8次出现是在哪一年? (2)你认为这颗彗星在2500年会出现吗?为什么? 【答案】(1)彗星第8次出现是在2321年 (2)不会 4.全国统一鞋号中,成年男鞋有14种尺码,其中最小的尺码是23.5cm,各相邻两个尺码都相差0.5cm,其中最大的尺码是多少? 共2页 【答案】30cm 5.一个等差数列的第40项等于第20项与第30项的和,且公差是-10,试求首项和第10项. 【答案】a190,a100 【选修延伸】 【例4】等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0. (1)求公差d的值; (2)求通项an. 【解】 (1)d=-4;(2)an=-4n+27 【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请您根据提供的信息说明: ⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数; ⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是 缩小了?请说明理由; ⑶哪一年的规模最大?请说明理由. 【解】 【答案】 (1) 第2年养鸡场的个数为26个,全县出产鸡的总只数是31.2万只 (2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大 【追踪训练二】: 第2页1.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( D ) A.d>83 B.d<3 C. 883≤d<3 D.3<d≤3 2.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8等于( C ) A.45 B.75 C.180 D.300 3.如果等差数列{an}的第5项为5,第10项为-5,那么此数列的第一个负数项是第__8_项. 4.已知等差数列的第10项为23,第25项为-22,则此数列的通项公式为an=-3n+53_. 5.已知数列{an}满足an+12=an2+4,且a1=1,an>0,求an. 【解】 由an+12=a2n+4即an+12-an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n-1)d=12+(n-1)·4=4n-3 又an>0∴an=4n3 8.若x≠y,两个数列:x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,求a2a1bb的值. 42【解】 设两个等差数列的公差分别为d1、dd2,即求1yx4d1d,由已知得d 2yx52即4d1yx,解得d15d2yxd5, 24即a2a1b5 4b34 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 共2页 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/0f5ea7cc7dd5360cba1aa8114431b90d6d8589ed.html