. 第5课时等差数列的概念和通项公式 [学习导航] 知识网络 学习要求 1． 体会等差数列与一次函数的关系； 2．初步通过数列的下标研究数列。 [自学评价] 1．{an}是等差数列aan1an1n2(n1) 2．{an}是等差数列，假设mnpq，那么amanapaq [精典范例] [例1]等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。 [解] [答案]a11,d2 等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点〔ｎ，ａｎ〕均在直线ｙ＝２ｘ－１上。 [例2]〔１〕在等差数列｛ａｎ｝中，是否有aan1an1n2〔ｎ≥２〕？ 〔２〕在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ〔ｎ≥２〕，都有aan1an1n2，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ [解] [例3]如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２． .专业. 〔１〕求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长； 听课随笔 〔２〕以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？ [解] 〔１〕设公差为ｄ〔ｄ＞０〕，ＢＣ＝x，那么ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得 (xd)x(xd)21d)x(xd)179 (x222解得x7x7d4或d4〔舍去〕 ＡＢ＝３〔ｃｍ〕，ＢＣ＝７〔ｃｍ〕，ＣＤ＝１１〔ｃｍ〕 〔２〕正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以 ａ１０＝３＋〔１０－１〕×４＝３９． ａ２２２１０＝３９＝１５２１〔ｃｍ〕． 所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２． [追踪训练一]： 1．等差数列的通项公式为an112n，求它的首项和公差，并画出它的图象． [答案]略 2. ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列． 〔１〕ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ 〔２〕ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ [答案]〔1〕d 〔2〕2d ３．等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ． 〔１〕将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ 〔２〕由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ [答案]〔1〕是等差数列，公差是ad . 〔2〕是等差数列，首项是a1，公差是2d ４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比． x-3x-5=0的两根，那么a5+a8= 3 . 2. 假设关于x的方程xxa0和22听课随笔 x2xb0(ab)的四个根组成首项为1的等差数列，那么ab 〔 D 〕 [答案]三边长的比为3:4:5 ５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？ [答案]需支付运费202.5元 [选修延伸] [例4]在等差数列｛ａｎ｝中，ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ〔ｐ≠ｑ〕，求ａｐ＋ｑ [解] [答案]ａｐ＋ｑ=0 [例5]如图〔１〕是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形〔如图〔２〕〕，再分别连结图〔２〕中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形〔如图〔３〕〕．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形． 〔１〕求数列｛ａｎ｝的通项公式； 〔２〕第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？ [解] [答案]〔1〕an3n2 〔2〕298个三角形 [追踪训练二]： 1. 假设｛an｝是等差数列，a3,a10是方程.专业. 4A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172 3. 假设三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列. [解] a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11 a=12，相应的数列为：2，8，14 4. a13，an13n13n2an (n1)，求an [解] a1n3(n1)3(n1)2•3(n2)13(n2)2••321322•3132a1 3n45263n13n73n48533n1 [师生互动] 学生质疑 教师释疑 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/eb6d41c5cdc789eb172ded630b1c59eef9c79a0c.html