三角形的内角和知识讲解与巩固练习
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三角形的内角和（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）． 证法3：如图3所示，过A点任作直线l1，过B点作l2∥l1，过C点作l3∥l1， 因为l1∥l3（已作）． 所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4． 又l1∥l2（已作）， 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）． 又∠2+∠3=∠ACB， 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）． 证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角. 证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角. 【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质. 2.（2016春•宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（ ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A为多少度即可． 【答案与解析】 解：如图， ∵∠BDC=140°， ∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°， ∵∠BGC=110°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°， ∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， ∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵∠3+∠4=30°， ∴∠5+∠6=30°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 =（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6） =70°+30° =100° ∴∠A=180°﹣100°=80°． 故选：C． 【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°． 举一反三： 【变式】已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 【答案】 解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x 则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180° 解得：x=36° ∴∠C=2x=72° 在△BDC中， BD是AC边上的高， ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=180°－90°-72°=18° 类型二、三角形的外角 3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ． （2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C． 【答案与解析】 解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C， 同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D， 所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D． （2）如图，延长线段BD交线段与点E， 在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①； 在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②， 将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证． 【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D； （2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C． 举一反三： 【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝ 75°，则∠C等于（ ） A、40° B、65° C、75° D、115° 【答案】B 【变式2】（2015春•龙口市）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度． 【答案】如图连接CE， 根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3， 在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°， ∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°． 类型三、三角形的内角外角综合 4.（2015春•绿园）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数． 【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论． 【答案与解析】 解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知） ∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）． 又∵AD平分∠BAC（己知）， ∴∠BAD=21°， ∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）． 又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°， ∴∠DAE=90°﹣59°=31°． 【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由． 【答案】 解：∠BPD＝∠CPG．理由如下： ∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线， 111∠ABC，∠2＝∠BAC，∠3＝∠ACB． 2221 ∴ ∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°． 2 ∴ ∠1＝又∵ ∠4＝∠1+∠2， ∴ ∠4+∠3＝90°． 又∵ PG⊥BC， ∴ ∠3+∠5＝90°． ∴ ∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG． 【巩固练习】 一、选择题 1．已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 3．(云南昆明)如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝( ) A．80° B．90° C．100° D．110° 4．(安徽)如图所示，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 5．（2016春•普陀区期末）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( ). A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空题 7．如图，AD⊥BC，垂足是点D，若∠A＝32°，∠B＝40°，则∠C＝_______，∠BFD＝_______，∠AEF＝________． 8．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ． 9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数． 10．如图所示，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38°(即∠A＝38°)，飞到了C地．已知∠ABC＝20°，现在飞机要到达B地，则飞机需以_______的角飞行(即∠BCD的度数)． 11．（2016•桐城市模拟）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ． 12.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形； (2)若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形； (3)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形． 三、解答题 13．（2015春•丹江口市）如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 14．已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 15．已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠B＝∠1．求证：∠2＝∠BAC． 16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成 40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D ； 2. 【答案】C； 【解析】180°×==75°即∠C等于75°．故选：C． 3. 【答案】D ； 4. 【答案】C； 【解析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质及三角形的内角和定理． 5. 【答案】B； 【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状． 6. 【答案】D； 【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答． 二、填空题 7. 【答案】58°，50°，98°； 【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°． 8. 【答案】70°． 9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°； 【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C． 10．【答案】58°； 11.【答案】75°； 【解析】考查三角形外角的性质． 12.【答案】(1)30°， 60°， 90°，直角；(2)直角 (3)钝角； 【解析】先根据已知条件求出最大角的度数，再判断三角形的形状． 三、解答题 13.【解析】 解：连结BC，∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°， 又∵∠EFD=∠BFC， ∴∠E+∠D=∠1+∠2， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2 =∠ABC+∠A+∠ACB=180゜． 14.【解析】 解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°． 在△ABC中，由内角和定理有x+2x+2x＝180°，∴ x＝36°． ∴ ∠C＝72°，在△BDC中，∵ BD是AC边上的高，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠DBC＝90°，∴ ∠DBC＝90°-∠C＝18°． 15.【解析】 解：由∠2＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠1， 又∵ ∠B＝∠1， ∴ ∠2＝∠BAC． 16.【解析】 解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°， 由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角． 同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/19b0bf65306c1eb91a37f111f18583d049640fbb.html