人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_正弦函数、余弦函数的性质_基础
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精品文档 用心整理 人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：周期函数的定义 函数yf(x)，定义域为I，当xI时，都有f(xT)f(x)，其中T是一个非零的常数，则yf(x)是周期函数，T是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(xT)f(x)或只差个别的x值不满足f(xT)f(x)都不能说T是yf(x)的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域 值域 奇偶性 周期性 R [-1，1] 奇函数 最小正周期2 增区间 单调区间 k∈Z R [-1，1] 偶函数 最小正周期2 [2k，2k]22 减区间 增区间2k，2k 减区间2k，2k [2k最值点 k∈Z 对称中心 k∈Z 对称轴 k∈Z 2，2k最大值点(2k最小值点(2k3]2 ,1) 22最大值点2k，1 最小值点 ,1) 2k,1 (k0 k，xk2,0) 2 xk 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要点诠释： （1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求应先将ysin(x)变换为ysinx再求解，相当于求ysinx的单调ysin(x)的单调递增区间时，递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 要点三：正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)(A,0)的性质． 函数yAsin(x)与函数yAcos(x)可看作是由正弦函数ysinx，余弦函数因此它们的性质可由正弦函数ysinx，余弦函数ycosx类似地得到： ycosx复合而成的复合函数，（1）定义域：R （2）值域：A,A （3）单调区间：求形如yAsin(x)与函数yAcos(x)(A,0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数ysinx，余弦函数ycosx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由232kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间． 22 2k2x2k(kZ)解出x的范围所得区间即为增区间，由（4）奇偶性：正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)(A,0)不一定具备奇偶性．对于函数yAsin(x)，当k(kz)时为奇函数，当k对于函数yAcos(x)，当k(kz)时为偶函数，当k要点诠释： 判断函数yAsin(x)，yAcos(x)的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T2(kz)时为偶函数；2(kz)时为奇函数． 2． （6）对称轴和对称中心 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 与正弦函数ysinx比较可知，当xk2函数yAsin(x)取得最大值（或(kz)时，最小值），因此函数yAsin(x)的对称轴由xk2(kz)解出，其对称中心的横坐标xk(kz)，即对称中心为k,0(kz)．同理，yAcos(x)的对称轴由xk(kz)解出，对称中心的横坐标由xk要点诠释： 2(kz)解出． 若xR，则函数yAsin(x)和函数yAcos(x)不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】 类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例1．求函数y2sin2xcosx1的定义域； 【答案】x2k22x2k,kZ 33【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示． 1 cosx1．2 ∴定义域为x2k 22x2k,kZ． 33【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围． 举一反三： 【变式1】求函数ylg(2sinx1)的定义域 【解析】依题意得2sin x－1＞0，即sinx∴函数的定义域为x2k例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x 15，∴2kx2k（k∈Z）， 2665x2k,kZ． 66资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）y2sin2x（3）y3，x,； 66cosx2． cosx132【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）, 【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]． （2）∵6x6，∴02x32． 3∴0sin2x102sin2x．∴2， 33∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]． cosx2cosx111， 1cosx1cosx11cosx13当cos x=－1时，ymin1， 22（3）∵y∴函数的值域为,． 【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质． 举一反三： 【变式1】 求y=cos2x+4sin x―2的值域． 【解析】y=cos2x+4sin x―2 =―sin2x+4sin x―1 =―(sin x―2)2+3． ∵－1≤sin x≤1， ∴当sin x=―1时，ymin=―6；当sin x=1时，ymax=2． ∴函数的值域为[－6，2]． 类型二：正弦函数、余弦函数的单调性 例3．（2016 浙江温州期末）设函数f(x)asin(2x（1）若a＞0，求f（x）的单调递增区间； （2）当x[0,323)b 4]时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值． 【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式2k22x32k2可得答案； a0a01（2）由x[0,]，可得sin(2x)1，结合题意可得ab3或ab1，解方程组42311ab1ab322资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 可得． 【答案】（1）[ka4a45；（2）或 ,k](kZ)1212b1b5【解析】（1）∵a＞0，由2k2325∴f（x）的单调递增区间为[k,k](kZ)； 12125（2）当x[0,]时，2x， 43361∴sin(2x)1， 23∵f（x）的值域为[1，3]， 2x2k可得k5xk， 1212a0a0∴ab3，或ab1， 11ab1ab322分别可解得举一反三： 【变式1】（2015春 河南期中）已知函数ysin(a4a4或 b1b51x) 32 （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域； （2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间． 【答案】（1）T=4π，[135,]；（2）单调递增区间为：[2,]和[,2]． 2233【解析】（1）由题意函数的周期T24， 12∵x∈[0，π]，∴1x[,]， 3263∴sin(3113x)[,]， 22213,]； 22即函数在区间[0，π]上的值域为[1)， 231原函数的增区间即为ysin(x)的减区间， 23（2）原函数可化为ysin(x资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 13， x2k2232511解得4k，k∈Z， x4k33511令k=0，可得， x337令k=－1，可得x， 33令2k∵x∈[－2π，2π]， ∴函数的单调递增区间为：[2,类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性 例4．判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)（2）f(x)3]和[5,2]． 352sin(2x)； 22sinx1； 2cosx，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域， 【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为f(x)然后判断． 【解析】（1）函数定义域为R，且f(x)52sin2x22sin2x22cosx2，显然有f(x)f(x)恒成立． ∴函数f(x)52sin2x为偶函数． 2（2）由2sin x－1＞0，即sinx51，得函数定义域为2k,2k（k∈Z），此定义域在x轴662上表示的区间不关于原点对称． ∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． 【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 举一反三： 【变式】关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题： ①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数； ②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使f(x)是奇函数； ④对任意的，f(x)都不是偶函数. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】 当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数. 当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)sinx仍是奇函数. 当=2kπ+22，k∈Z时，f(x)=cosx， 当=2kπ-，k∈Z时，f(x)=-cosx，f(x)都是偶函数. 所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，类型四：正弦函数、余弦函数的对称性 例5．（2015春 湖南益阳月考）已知函数f(x)2sin(2x2+kπ(k∈Z)；或者④，2+kπ(k∈Z) 4)． （1）求函数的最值及相应的x值集合； （2）求函数的单调区间； （3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心． 【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合； （2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间； （3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心． 【解析】（1）当sin(2x即xk4)1，即2x42k2，k∈Z， 3，k∈Z，此时函数取得最大值为2； 83k,kZ}； 8故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为{x|x（2）由22k2x422k，得8kx3k，k∈Z． 83k]，k∈Z． 883372k，得kxk，k∈Z． 由2k2x2428837k,k]，k∈Z． ∴函数f（x）的单调递减区间为[8831k，k∈Z． （3）由2xk，得x428231k，k∈Z． 即函数f（x）的图象的对称轴为x82∴函数f（x）的单调递增区间为[k,资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 由2x4k，得x11k，k∈Z，即对称中心为(k,0)，k∈Z． 8282【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值． （2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0． 举一反三： 【正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）ysin(x（2）ycos(2x). )；43【解析】（1）令tx4，则ysinxt的对称轴方程是tk（k∈Z），即sin42x4k2（k∈Z），解得xk4（k∈Z）． ∴函数ysinx4的对称轴方程是xk4（k∈Z）． 同理，对称中心的横坐标为x4k，xk4，即对称中心为k,0． 4（2）令t2x3os2，则ycxosc3t的对称轴方程是tk（k∈Z），即2x3，k（k∈Z）解得xk． （k∈Z）26∴函数ycos2x3的对称轴方程是xk． （k∈Z）26 同理，对称中心的横坐标为2x3k2，xk5k5,0（k，即对称中心为212212∈Z）． 类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例6．求下列函数的周期： （1）ysinx3（2）ycos2x；（3）y3sin；x； 23（4）y2sin11xcosx 3622【解析】（1）①令zx3，而sin(2z)sinz，即f(2z)f(z)． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 f(x2)fx．∴T=2π． 33②令z=2x，则f(x)cos2xcoszcos(z2)cos(2x2)cos[2(x)]， 即f(x)f(x)，∴T=π． ③令zx32∵x23x4s3，则f(xzz)fx， i2式n∴T=4π ④原212x∴Ts21ix6， n1x24． 12举一反三： 【正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】 【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）y|sinx|； （2）ysin|x|； （3）ysin(2x3). 2 2【答案】（1）是 T （2）不是 （3）T类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例7．已知函数f(x)log1|sinx|． 2（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间． 【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将f(x)log1|sinx|看成是由ylog1u，u=|t|，t=sin x复合而成． 22【解析】（1）由|sinx|0，得sinx0，∴x≠kπ，k∈Z． ∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}． ∵0|sinx|1，∴log1|sinx|0， 2∴函数的值域为{y|y≥0}． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）∵f(x)log1|sin(x)|log1|sinx|f(x)， 22∴函数f(x)是偶函数． （3）∵f(x)log1|sin(x)|log1|sinx|f(x)， 22∴函数f(x)是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当xk,k时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数； 2当xk,k时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数． 22又∵函数ylog1t为减函数， ∴函数f(x)的单调增区间为k举一反三： 【变式】已知函数y,k，k∈Z；单调减区间为k,k，k∈Z． 2211cosx|cosx|． 22 （1）画出函数的简图； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间． 【解析】 （1）y11cosx|cosx| 22cosx, x2k,2k(kZ)22． 0, x2k,2k3(kZ)22函数图象如右图所示． （2）由图象知函数的周期是2π． （3）由图象知函数的单调区间为2k,2k（k∈Z） 2【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 资料来源于网络 仅供免费交流使用 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3250ece0d938376baf1ffc4ffe4733687e21fc0d.html