高中数学各章节基础练习-立体几何基础题
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立体几何基础A组题 一、选择题： 1．下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴ 三点确定一个平面 ⑵ 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内 ⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 2．已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30的直线条数有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：B 3．已知直线l平面，直线m平面，下列四个命题中正确的是 （ ） (1) 若//，则lm (2) 若，则l//m (3) 若l//m，则 (4) 若 lm，则// A.(3)与（4） B.（1）与（3） C.（2）与（4） D.（1）与（2） 答案：B 4．已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l （ ） A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交 答案：B 5．设集合A={直线}，B={平面}，CAB，若aA，bB，cC，则下列命题中的真命题是 （ ） A. abc//b B. aca//c bcaba//ba//b D. a//cac c//bcbC. 答案：A 6．已知a、b为异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AC=AD，BC=BD，则直线a、b所成的角为 （ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 答案：A 7．下列四个命题中正确命题的个数是 （ ） 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体 底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 答案：D - 1 - 8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 （ ） A.QMNP B.QMNP C.QNMP D.QNMP 答案：B 9．正四棱锥P—ABCD中，高PO的长是底面长的143，且它的体积等于cm，则棱AB与侧面PCD之232cm 2间的距离是 （ ） A. 2cm B. 2cm C. 1cm D. 答案：A 10．纬度为的纬圈上有A、B两点，弧在纬圈上，弧AB的长为Rcos（R为球半径），则A、B两点间的球面距离为 （ ） A. R B. ()R C. (2)R D. (2)R 答案：D 11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132 C.它的全面积不能确定 D.这样的长方体不存在 答案：D 12．正四棱锥P—ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于 （ ） A. 2231 B. C. D. 2332答案：D 13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形 答案：B 二、填空题： 14．正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的重点，则EF与BG所成角的余弦值为________________________ 答案：10 515．二面角a内一点P到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a的距离为42，则这个二面角的大小为__________________ 答案：75或165 16.四边形ABCD是边长为a的菱形，BAD60，沿对角线BD折成120的二面角A—BD—C后，AC与BD的距离为_________________________ 答案：3a 4 - 2 - 17．P为120的二面角a内一点，P到、则P到棱a的距离是_________________ 的距离为10，答案：203 318．如图：正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是______________________ 答案：2 4DCAFBE 19．已知三棱锥P—ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为,,，则cos2cos2cos2_______________ 答案：1 20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。 答案：111114(或) 6121221．三棱锥P—ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为2,23,6，则这个球的表面积是________ 答案：18 三、解答题： 22．已知直线a，直线a直线b，b，求证：b// 答案：略 23．如图：在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，BCD90 ，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点。（1）求证：平面BEF平面ABC；（2）求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角。 答案：（1）略；（2）arctan6 3 - 3 - AFEBCD 27．如图所示：已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AEPC于E，求证：AE平面PBC。 答案：略 P E A O B C 24．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线B1C和BD1间的距离。 答案：6a 625．如图：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E、F、G分别是AB、CC1、B1C的中点，求异面直线EG与A1F的距离。 答案：2a 4C1D1A1B1FGDHAEBC 26．矩形ABCD中，AB=6，BC=23，沿对角线BD将ABD向上折起，使点A移至点P，且P在平面BCD上射影位O，且O在DC上， （1）求证：PDPC； （2）求二面角P—DB—C的平面角的余弦值； （3）求直线CD与平面PBD所成角正弦值。 - 4 - 答案：（1）略，（2）21，（3） 33PDBC 28．已知：空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为，求cos的值。 2 329．已知：正三棱锥S—ABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30，D为侧棱SC的重点，截面DEF过D且平行于AB，当DEF周长最小时，求截得的三棱锥S—DEF的侧面积。 答案：答案：232a 830．在四面体A—BCD中，AB=CD=5，AC=BD=25，AD=BC=13,求该四面体的体积。 答案：8 立体几何基础B组题 一、选择题： 1．在直二面角—AB—的棱AB上取一点P，过P分别在、两个平面内作与棱成45 的斜线PC、PD，那么CPD的大小为 （ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 60或120 答案：D 2．如果直线l、m与平面、、满足：l，l//，m和m，那么必有（ ） A. 且lm B. 且m// C. m//且lm D. //且 答案：A 3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D E F 4．如图：在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长 为3的正方形，EF//AB，EF3，EF与面AC的距 D C 2- 5 - 离为2，则该多面体的体积为 （ ） A. 915 B. 5 C. 6 D. A B 22答案：D 5．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是 （ ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不确定 答案：D 6．已知球的体积为36，则该球的表面积为 （ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 36 答案：D 7．已知MN//，M1A，且MM1，NAMN，若MN2，M1A3，NA4，则M1N等于 （ ） A. 15 B. 5 C. 13 D. 213 答案：A 8．异面直线a、b成60角，直线ca，则直线b与c所成角的范围是 （ ） A. [30,90] B. [60,90] C. [60,120] D. [30,120] 答案：A 9．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ） A.至多只有一个是直角三角形 B.至多只有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 答案：C 10．如图：在斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC中， B1 C1 A90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC， A1 垂足为H，则点H在 （ ） A.直线AC上 B.直线AB上 B C C.直线BC上 D. ABC内部 A 答案：B 11．如图：三棱锥S—ABC中，SEBFSG1，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为 EAFSSC2（ ） A. 1:9 B. 1:7 C. 1:8 D. 2:25 答案：C SEGAFCB - 6 - 12．正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是 （ ） A.正四面体的一个棱长 B.正四面体的一条斜高的长 C.正四面体的高 D.以上结论都不对 答案：C 13．球面上有三点A、B、C，每两点之间的球面距离都等于大圆周长的1，过三点的小圆周长为4，则6球面面积为 （ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 答案：D 二、填空题： 14．、是两个不同的平面，m,n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断： ①mn ② ③n ④m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是____________答案：②③④①或①③④② 15．关于直角AOB在平面内的射影有如下判断：①可能是0的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180的角，其中正确判断的序号是_________ (注：把你认为是正确判断的序号都填上) 答案：①②③④⑤ 16．如图所示：五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是____________________ PMNlMlPNMlNP ① ② ③ PlMPN lMN ④ ⑤ 答案：①④⑤ 17．如图：平面//平面//平面，且在、之间。若和的距离是5，和的距离是3，直线l和、、分别交于A、B、C，AC=12，则AB=___，BC=____ 答案：159或 22 - 7 - lAl'BCDPQ 18．已知三条直线两两异面，能与这三条直线都相交的直线有__________________条。 答案：无数 19．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为_____________（写出一个可能值） 答案：223或或 24121220．正三棱锥两相邻侧面所成角为，侧面与底面所成角为，则2coscos2=_____ 答案：1 21．正四面体的四个顶点都在表面积为36的一个球面上，则这个正四面体的高等于______ 答案：4 22．如图所示：A1B1C1D1是长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，CC1=12，AA1=5，则这个几何体的体积为________________ C1D1A1DB1CAB 答案：102 三、解答题： 23．已知平面//平面，AB、CD是夹在、间的两条线段，A、C在内，B、D在内，点E、F分别在AB、CD上，且AE:EBCF:FDm:n，求证：EF// 24．在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=BC=1，ADABC90，SA面ABCD，（如图）， （1）求四棱锥S—ABCD的体积； （2）求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。 1，2 - 8 - 答案：（1）VSABCDS21，（2） 24BCAD 25．从二面角MN内一点A分别作AB平面于B，AC平面于C，已知AB=3cm，AC=1cm，ABC60，求： （1）二面角MN的度数； （2）求点A到棱MN的距离。 答案：（1）120，（2）221 326．如图：在棱长为a的正方体OABCO'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF，（1）求证：A'FC'E； （2）当三棱锥B'BEF的体积取得最大值时，求二面角B'EFB的大小。 答案：（1）略，（2）arctan22 O1A1B1C1OFAEBC 27．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（如图），（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离。 - 9 - D1C1A1B1EFDCAB 答案：（1）略，（2）23 328．如图：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。 （1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点A1到平面AED的距离。 C1A1DB1ECGAB 答案：（1）arcsin226，（2） 3329．如图：三棱柱OABOAB，平面OBB1O1⊥平面OAB，OOB60，AOB90，且1111OB=OO1=2，OA=3,求: （1）二面角O1—AB—O的大小； （2）异面直线A1B与AO1所成角的大小。(上述结果用反三角函数值表示) 答案：（1）arctan7，（2）arccos 17 - 10 - C1B1A1CBA 30．PD⊥矩形ABCD所在平面，连PB，PC，BD，求证：PBDBPC90，如图。 PDABC 31．长方形纸片ABCD，AB=4，BC=7，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角，问E点取何处时，使折起后两个端点B、D之间的距离最短？ 答案：当BE=4时，BD的最小值为37 32．如图：BCD内接于直角梯形A1A2A3D，已知沿BCD三边把A1BD、A2BC、A3CD翻折上去，恰好使A1、A2、A3重合成A， （1）求证：ABCD；（2）若A1D10，A1A28，求二面角A—CD—B的大小。 答案：（1）略，（2）arctan17 8A1BDA2CA3 32．如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD平面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB；（2）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。 - 11 - PFCEDBA 答案：（1）略，（2）arcsin3 633．在三棱锥P—ABC中，PA、BC的长度分别为a、b，PA与BC两条异面直线间的距离为h，且PA与BC所成的角为，求三棱锥P—ABC的体积。 答案：1abhsin 634．如图所示：四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，ADC为菱形的锐角，M为PB的重点， （1）求证：PACD； （2）求二面角P—AB—D的度数； （3）求证：平面CDM平面PAB； （4）求三棱锥C—PDM的体积。 PMCBDA 答案：（1）略，（2）45，（3）略，（4）1 2A1DE90，35．如图所示：直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，E为BB1中点， ACB90，（1）求证：CD平面A1ABB1； （2）求二面角C—A1E—D的大小； （3）求三棱锥A1—CDE的体积。 答案：（1）略，（2）45，（3）1 - 12 - A1C1B1EADBC 36．如图所示：已知在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，平面A1B1C1平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直。 （1）求证：AB1平面A1CD； （2）若CC1与平面ABB1A1的距离为1，A1C37，AB15，求三棱锥A1ACD的体积。 答案：（1）略，（2）A1C1B15 3DACB 立体几何基础C组题 一、选择题： 1．过空间任一点作与两条异面直线成60的直线，最多可作的条数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 答案：A 2．用一块长方形钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有下列四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，又要所剩最小，则应选择钢板的规格是 （ ） A. 25 B. 25.5 C. 26.1 D. 35 答案：C 3．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下列结论中正确的个数是 （ ） （1）(MN)P(0,（3）(MN)P(0,2] （2） (MN)P(0,] ] （4） (MN)P(0,) 22- 13 - A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：D 4．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A. 2R B. 29285R C. R2 D. R2 答案：B 4325．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A. 3 B. 4 C. 33 D. 6 答案：A 6．如图：四棱锥P—ABCD的底面为正方形， P PD平面ABCD，PD=AD=1，设点C到平面PAB 的距离为d1，点B到平面PAC的距离d2，则有（ ） A. 1d1d2 B. d1d21 D C C. d11d2 D. d2d11 A B 答案：D 7．平行六面体ABCD—A1B1C1D1的六个面都是菱形，则D1在面ACB1上的射影是ACB1的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 答案：D 8．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，则这两部分体积之比为 （ ） A. 42144 B. C. D. 25252117 答案：C 9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32,那么该三棱柱的体积3是 （ ） A. 963 B. 163 C. 243 D. 483 答案：D 10．在侧棱长为23的正三棱锥S—ABC中，ASBBSCCSA40，过A作截面AEF，则截面的最小周长为 （ ） A. 22 B.4 C.6 D.10 答案：C 11．设O是正三棱锥P—ABC底面ABC的中心，过O的动平面与P—ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q,R,S，则和式111满足 （ ） PQPRPSA.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D.是一个与平面QRS为之无关的常量 答案：D 12．三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且三条侧棱长之和为3，则三棱锥体积的最大值为（ ） - 14 - A. 1 B. 11 C. D.6 答案：B 63二、填空题： 13．过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面的个数为__________________个 答案：8 14．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则ABACBC。” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则___________” 答案：S2ABC222S2ACDS2ADBS2BCD 15．下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题（1）AB与EF所在直线平行；（2）AB与CD所在直线异面；（3）MN与BF所在直线成60角；（4）MN与CD所在直线互相垂直，其中正确命题的序号为_________________（将所有正确的都填入空格内） DFCBENAM 答案：（2）、（4） 16．如图：在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题： D1A1D1A1HDEAFBC1C1B1GCDB1HGCAEFB ①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图所示时，BFBE是定值，其中所有正确命题的序号是_____________ 答案：①③④ 17．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离为_________________ 答案：3 三、解答题： - 15 - 18．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BCb，AA1c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。 答案：c2b2abcbc22222 19．如图所示：四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA面ABCD， （1）平面PAD平面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。 答案：（1）VPABCDP33a，（2）略 3BACD 20．如图：已知平行六面体ABCDA'B'C'D'的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD，（1）证明：CC1BD；（2）当CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。 CC1O1A1D1A1BCDA 答案：（1）略，（2）21．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AA1=2，AB=3，AD=a,求： （1）异面直线B1C与BD1所成的角；（2）当a为何值时，使B1C⊥BD1？ 答案：（1）arccosCD1 CC1a24a13a422，（2）a2 22．如图：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC1上找一点N，使MNAB1. 答案：CN1 4 - 16 - A1C1B1NAMBC 23．如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，(0a2)。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。 CDMBNEA F 答案：（1）MN(a221)22(0a2) （2）a21 （3）arccos() 2324．正三棱柱ABC—A1B1C1的棱AA1上存在动点P，已知AB=2，AA1=3，求截面PBC与PB1C1所成二面角的最值。 答案：maxarctan43，min3 25．如图所示：平面EAD平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30的角。 （1）求证：EG平面ABCD； （2）当AD=2时，求二面角E—FC—G的度数； （3）当AD的长是多少时，D点到平面EFC的距离为2，请说明理由。 答案：（1）略，（2）45，（3）AD - 17 - 6 C1EB1A1AGFBCDDC BA 26．如图所示：斜三棱柱ABC—A1B1C1中，ACB90，BC=2，B1在底面ABC上的射影D恰是BC中点，侧棱与底面成60角，侧面A1ABB1与侧面B1BCC1成30角，。求该柱体的侧面积和体积。 答案：3 27．如图：长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2,点E在棱AB上移动。 （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。 4 D1 C1 A1 B1 D C A E B 答案：（1）略（2）1（3）23 328．如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB3， BC1，PA2，E为PD的中点。 （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离。 P E D C A B - 18 - 答案：（1）373（2）1、 146 29．如图：在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE。 （1）求证：AE平面BCE； （2）求二面角BACE的大小； （3）求点D到平面ACE的距离。 D C F A B E 答案：（1）略（2）arcsin623（3） 33A1ABA1AC，ABAC,30．如图：在斜三棱柱ABCA1B1C1中，与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点。 （1）求A1A与底面ABC所成的角； （2）证明A1E//平面B1FC； （3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积。 A1AA1Ba，侧面B1BCC1 C1 E A1 B1 F C A B 答案：（1）60（2）略（3） - 19 - 43a3 27 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3e1281c3866a561252d380eb6294dd88d0d23d0e.html