初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（ ）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C． 解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）． 【答】A． 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或 由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由 ≥，解得 ≤．于是 0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时 ． 所 以，原方程的整数解为 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 【答】3750． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ， 则 ． 解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知，，在△FHA和△EFA中， 所以Rt△FHA∽Rt△EFA，. 而，所 以. 8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为 ． 【答】 10． 解：因为， 且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．又因为，所以 ． 由，可得． 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ． 且．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 ，即， 解得．所以． 【答】． 解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是． 于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以，解得． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．已知抛物线与动直线有公共点，，且 . （1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：1.联立与，消去y得二次方程 ① 有实数根，，则．所以 =＝． ②………………5分 把②式代入方程①得． ③………………10分 t的取值应满足≥0， ④ 且使方程③有实数根，即＝≥0，⑤ 解不等式④得 ≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤. 所以，t的取值范围为≤≤. ⑥ ………………15分 (2) 由②式知. 由于在≤≤时是递增的，所以，当时, . ………………20分 12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和． 解：由可得．， 且． ………………5分 因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．………………15分 又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 证明：连接AD，BC，因为四边形是平行四边形，所以． ，因此有≌（SAS），于是可得 ． ………………10分 又因为与⊙相切于点，所以．结合，可得 ， 于是四点共圆．因此点在⊙上，从而有．……………20分 14．n个正整数满足如下条件：； 且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值． 解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即． 于是，对于任意的1≤≤n，都有， 从而 ． ………………5分 由于是正整数，故． ………………10分 由 ≥， 所以，≤2008，于是n ≤45. 结合，所以，n ≤9． ……15分 另一方面，令，…，， ，则这9个数满足题设要求．综上所述，n的最大值为9. ………20分 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/429b7f8bc7da50e2524de518964bcf84b8d52d33.html