2.1.2 求曲线的方程 一、选择题 →→1．已知A(－1,0)，B(1,0)，且MA·MB＝0，则动点M的轨迹方程是( ) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠±2) →→解析：选A.设动点M(x，y)，则MA＝(－1－x，－y)，MB＝(1－x，－y)． →→由MA·MB＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，即x2＋y2＝1.故选A. 2．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程为( ) A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1) 解析：选C.由题意知，|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)． 3．方程x2＋xy＝0的曲线是( ) A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析：选C.x2＋xy＝x(x＋y)＝0，∴x＝0或x＋y＝0. 4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A．9π B．8π C．4π D．π 解析：选C.设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知 x＋22＋y2＝2x－12＋y2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，所以，动点P的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π. 5．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ⇒解析：选B.“点M在曲线y＝|x|上”⇐/“点M到两坐标轴距离相等”．故选B. →→6．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，若BP＝2PA，→→且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( ) 33A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) B．3x2－y2＝1(x>0，y>0) 2233C.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) D.x2－3y2＝1(x>0，y>0) 223→→解析：选C.由BP＝2PA及A、B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，知A(x,0)，B(0,3y)， 23→→所以AB＝(－x,3y)．由点Q与点P关于y轴对称，知Q(－x，y)，所以OQ＝(－x，y)， 233→→则由OQ·AB＝1，得(－x,3y)·(－x，y)＝x2＋3y2＝1(x>0，y>0)，即为点P的轨迹方程． 22二、填空题 7．已知A(0,1)，B(1,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是________． 答案：y＝x 8．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关→→于x轴对称且OP·MN＝4，则动点P的轨迹方程为________． →→解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，则OP·MN＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4， x2y2即－＝1. 42x2y2答案：－＝1 429．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________． 0，x＝x＋2解析：设A(x，y)，D(x，y)，则y＋0y＝2，0000 xy即x0＝，y0＝，又(x0－5)2＋(y0－0)2＝9，22∴(x－10)2＋y2＝36(y≠0)为所求A点的轨迹方程． 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0) 三、解答题 10．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为由已知，得|x－8|＝2x－22＋y2，化简得x－22＋y2. 3x2＋4y2＝48. ∴动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48. →→11．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝mOA→＋nOB，其中m，n∈R，且m＋n＝1，求点C的轨迹方程． x＝3m－n，解：设C(x，y)，则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)，∴ y＝m＋3n， ∴x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，∴x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0. 12．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程． 解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/514d96ef7d21af45b307e87101f69e314332fac3.html