数学第二讲：数轴的奥秘
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第二讲 数轴的奥秘 许多人心中有一个疑问，数学中究竟有多少数字，这些数能数清吗？答案是：数学中的数字只能用一个成语形容：无穷无尽。从前，我们接触的数都是正数，其实，数学中的数字虽然看不见摸不着，但它们和天地万物一样，都有阴阳之分，如人分男女，鸟分雌雄，数学中的数除了正数，还有负数。正数好理解，怎么理解负数呢？ 比如冬天气温一般都在0度以下，0度以上的温度用正数表示，如5℃，零度以下的数用正数我们无从下手，用负数的话表示的话就简单多了，比如零下5℃就可以这样表示：-5℃。既简单又明了，零下5℃的温度，必然小于0℃，由此我们把所有小于0的数都叫负数，反过来说：所有负数都小于0。 这时一定会有一些孩子问，可不可以用一种最简单的方式把所有数字都表示出来呢？当然可以，我们就用一条叫做数轴的图像来表示这些无穷无尽的数，如图： 为了让所有数字都有秩序地排列，就像上体育课时，体育老师让班里的人按个子从低到高的顺序排列一样，我们也给数轴上所有的数按从小到大的顺序排列一下，问题是由谁来指导这些数字的排列呢？数学家想了一个办法，他给数轴的最右边安了一个小小的箭头，箭头的方向朝右，意思是说：小的们，都给我按从小到大从左到右的顺序排列。接到这个命令后，所有的数立刻井然有序，立刻排满了数轴，所以这个小箭头的作用不可忽视，我们给这个小箭头起一个很好听的名字，叫：正方向。 正方向有了，若要在数轴上找一些数字，如1，3，-5，-7时该怎么找？这些数字的具体位置在哪？在这条光溜溜的数轴上，我们肯定无法下手，于是聪明的数学家又想了一个办法：定一个单位长度，以此来确定每个数字的具体位置。可是，在单位长度确定后我们还是没法确定每个数字的具体位置，比如1的位置，没法确定，所以还需要确定一个点，我们称之为原点，原点最重要的作用就是把正数和负数彻底分开了，也叫一点定乾坤，原点左边是负数，右边是正数，各占数轴一半，这个小小的原点更像盘古开天辟地的那一斧，一下将混沌宇宙劈成了天和地，原点的性格异常倔强，它既不是正数也不是负数，而被0牢牢占据，千万不能说原点就是0，因为原点是一个图形，而0是一个数字，图形怎会等于数字？只能说原点和0点相对应，就是这样。 原点确定之后，我们就可以光明正大地规定单位长度了，从原点出发，向右依次为12345到无穷大，向左依次为-1-2-3-4-5到无穷小，单位长度具体是怎么规定的呢，它具体有多长？应该是多长？其实，单位长度是一个相对性的概念，它的长度因每个人的不同喜好和情况而定，有人习惯规定1cm为单位长度，通常来说，这种人一般很小气，有人喜欢把2cm甚至4cm当做单位长度，这种人的一般都比较豪爽大方，不拘小节，总之，规定单位长度只是为了我们更好地解决问题！ 如此一来，数轴的三要素就确定了：1.正方向 2.原点 3.单位长度。 这么一规定，所有的负数，0和正数都整整齐齐地呆在了数轴上，为了方便，我们把：负数，正数和0统一叫实数，实数这个名字可不是乱起的，像我们刚说的，人分男女，鸟分雌雄，同理，与实数相对应的数还有虚数，虚数是个什么东西？这里我们暂不研究，以后再细细讲解！ 历史的车辙总是滚滚向前，数轴的脚步也不停向前，最右边的箭头就是它前行的标志，越向前数字越大，越向后数字越小，所以在数轴上，前面的数总比后面的数大，或者说右边的数总比左边的大，以零为分界线，0左边是负数，右边是正数，刚才我们说右边的数总比左边的大，这样我们就很容易理解：所有正数都大于0，所有负数都小于0。 数轴的诞生，在不知不觉中完成了数字和图形的完美结合，它们是怎样结合的呢？我们可以用以下两种办法理解数轴： 1.把数轴看作一条没有尽头的直线，这条直线又由无穷无尽的点组成，这些无穷无尽的点又刚好和无穷无尽的实数一一对应，这就是数轴和实数的关系，闭上眼睛，我们可以这样想象：一条直线敞开它宽广的胸怀，容纳了所有的实数，这条直线从两个方向往无限远处延伸，这条直线就是数轴。 2.数轴本来就不存在，它完全是由这无穷无尽的实数堆砌而成，若这些实数再次分散开来，数轴也就消失不见了。现在，我们可以这样想像：每个实数我们都用一个点来表示，这些点按照从小到大的顺序，规规矩矩地排列起来，一瞬间，这些数字就组成了一条没有尽头的线。鲁迅先生说，世上本没有路，走得人多了便成了路，世上本没有数轴，所有点聚在一起了，便形成了数轴。（配图） 以上两幅画面中，每一个实数我们都在数轴上用一个点来表示，点是自然界最最简单的图形，在这里我们要一定要搞清楚实数和点的关系，实数是数字，而点是图形，前者虚，后者实，两者本来没有一点关系，但我们可以认为一个点代表一个实数，或者一个点对应一个实数，为什么要这样认为呢？因为数字是虚的，看不见摸不着，而图形是实的，能看得见也能摸得着，研究实体的东西总比虚幻的更方便，所以我们要用图形代表数字，或者说用实物代表虚物，这是一种很重要的思维方式，我们把它叫做数形结合，在以后的学习过程中，我们一定要熟练这种思维方式，其实，数形结合说得更深刻一点也叫虚实结合，虚实结合才能生出百般变化，数形结合方能解决百般问题。 数形结合的思想是一种很重要的思维方式，它将时不时出现在我们的视野中，数形的完美结合，就像被围困在敌军中央的我们忽然得到了一把锋利的宝剑，一剑下去，再顽固的问题也会迎刃而解。又像在千回百转的迷宫中，得到了一张地图，于是峰回路转，出口一目了然。 有诗赞曰：正负结合之最初，数形结合之鼻祖，虽是细长之简图，却含实数之全部。 习题考察： 1.在数轴上与原点的距离等于2的点表示的数有几个，分别是多少？ 2.数轴上有两个实数点A和B，B点在A点右边，请问哪个点代表的数字大，最后再问A点和 B点的距离是多少？ （题中有一句话“请问哪个点代表的数字大”，这句话千万不能说成“请问哪个点大”，我们说过，点只是图形，都是圆溜溜的小点点，没有大小，只有放置在点上的数字才有大小，或者说点对应的数字才有大小，或者说点代表的数字才有大小，一定要注意表述的准确性） 3.我们规定某数轴的单位长度是1厘米，在这个数轴上随意画出一条长为2000厘米的线段AB，则线段AB盖住的整数点的个数是有可能是多少个？ （数轴的单位长度可以由人为来规定，我们规定为1厘米，但后面又出来一个2000厘米，在一道题中，如果数字大得离谱，肯定而且必然有简便算法，当然，这些简便算法背后隐藏的的是一套严密的逻辑思维模式） 4.比较大于（填写“＞”或“＜”号） （1）－2.1_____1 （2）－3.2_____－4.3 （3）－121_____－ （4）－_____0 2345.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3，计算(2a+3c)·b的值. 6.如果，数轴上的点A表示的数是a，则点A到原点的距离是（ ） 7.比较a和-a的大小。 8.大于-3．5小于4．7的整数有_______个． 9. 在数轴上点M表示，那么与M点相距4个单位长度的点表示的数是（ ） 10. 利用数轴比较下列每组数的大小，用“〈”连接 ： -5，+212，-2，0，3 1 ，-3.5。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5ad599203c1ec5da51e27053.html