东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案

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东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题（学科数学）参考答案

一、计算题（本题56分，每题8分）

tanxsinx

3x0x

1sinx1cosx

解 lim 

x0cosxxx2

sinx1

lim

x02x2

（1）求极限lim

（2）求极限lim(1x2)cosx

x0

3

解：lim(1x)

x0

2

2cos3x

e

x0

limx2cos3x

e01

(100)

（3）设yxsinx，求高阶导数y解令ux2，vsinx，

则u2x，u2，u(n)0，n3，v(n)sin(x

n

)，所以 2

y

(100)

n1

C100u(n)v(100n)x2sin(x50)C1002xsin(xn0

100

992

)C1002sin(x49) 2

x2sinx200xcosx9900sinx （4）求极限lim

x0

x1e

2x

解：lim

x0

x1e2

x

11

x2

12 lim1

x02

x2e2x

（5）求不定积分

x

dxx1

2

,x1

解：

x

dx

2

1x

2



1d()

1xarccosC x1

1()2

x

1) 2n

（6）求极限lim(

n

11n1n2

11解 lim(

nn1n2

n11111

)limdxln2 2nnk1n1k01x

n

（7）求uxyln(xy)的偏导数

22

u2x2x2y2222

yln(xy)xy2yln(xy)2解： 22xxyxyu2y2xy22222

xln(xy)xy2yln(xy)2 yxy2xy2

三、论述题（本题20分）

讨论f(x,y)xy3xy的极值点

3

3

f(x,y)x3y33xy的偏导数为

''''''fx'(x,y)3x23y，fy'(x,y)3y23x，fxx(x,y)6x，fyy(x,y)6y，fxy(x,y)3 2

x0x13x3y0解方程，得或，得到函数f(x,y)的稳定点(0,0)和(1,1)

2y0y13y3x0''

在稳定点(0,0)处，fxxfyyfxy= -9<0，fxx(x,y)0，所以点(0,0)不是极值点。 ''

在稳定点(1,1)处，fxxfyyfxy=66 -9=27>0，fxx(x,y)60，所以点(1,1)是极

2

2

小值点。

四、证明题（本题20分）求证黎曼函数(x)

1

在(1,)中连续可导 xnn1



记un(x)

21xxu(x)nlnn，所以，， u(x)nlnnnnx

n

k

[un(x)](k)(1)knxlnn,k1,2,3

都在在(1,)中连续。对任何x01，存在

x0，当x时，有



1111(k)kun(x)，un(x)lnn，[un(x)](lnn)，而(lnn)k收敛，所以

nnnn1n





un(x),un(x),un(x),k1,2,3

(k)

n1

n1

n1

都在[,)上一致收敛，故(x)



1

在xnn1



[,)内是连续的，且有任意阶连续导函数，由x0的任意性得(x)

是连续的，并有任意阶连续导函数。

1

在(1,)中x

n1n

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5f642eb6e0bd960590c69ec3d5bbfd0a7856d572.html

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