2019例题与探究(521复数的加法与减法)语文
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高手支招3综合探究 复平面上的轨迹问题. 求复平面上的轨迹问题通常有两种途径: 一是设z=x+yi(x,y∈R）,依据条件转化为关于x与y的方程,从而得出所求轨迹. 在平时,我们常见的用复数表示的基本轨迹方程如下(设动点Z、定点Z1、Z2所对应的复数分别为z、z1、z2,r、r1、r2、a>0,Z0为定点,对应复数为z0). (1)复平面上两点Z1、Z2的距离公式:d=|z1-z2|; (2)方程|z-z0|=r表示:是以点Z0为圆心,以r为半径的圆; (3)式子|z-z0|表示:是以点Z0为圆心,以r为半径的圆的内部;
(4)式子r1<|z-z0|2表示:是以点Z0为圆心,以r1为半径的圆和以点Z0为圆心,以r2为半径的圆之间的部分,不含边界;
(5)方程|z-z1|+|z-z2|=2a表示:①当Z1Z2<2a时,是以定点Z1、Z2为焦点,以2a为长轴长的椭圆;②当Z1Z2=2a时,是线段Z1Z2;(3)当Z1Z2>2a时,点Z无轨迹. (6)方程|z-z1|-|z-z2|=±2a表示:以定点Z1、Z2为焦点,以2a为实轴长的双曲线; (7)方程|z-z1|=|z-z2|表示:线段Z1Z2的中垂线.
二是结合“基本轨迹方程”,充分考虑复数的整体性,运用条件及有关性质(如模、共轭复数的性质等),探求轨迹上的点所对应的复数z具有的特征及满足的方程(解析几何代入法是求轨迹的常用思想方法). 高手支招4典例精析
【例1】 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z1＋z2=i,求z1、z2的值.
思路分析:根据两复数的关系z1＋z2=i来设复数z1、z2可以减少未知数的个数,从而使式子简化便于求解.
解:由z1＋z2=i是纯虚数,且|z1|=|z2|=1,可设z1=a＋bi,z2=-a＋bi(a,b∈R). 且a2＋b2＝1,于是由(a＋bi)＋(-a＋bi)=i.可得b=
31
,a=±.
22
∴z1=
31313131
＋i,z2=＋i,或z1=＋i,z2=＋i. 22222222
【例2】 解方程3+z=5+4i.
思路分析:设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等将问题转化为实数方程问题,或由减法定义,转化为求两数的差.
解:设z=x+yi(x,y∈R),则将方程变形为3+x+yi=5+4i,则有:
3x5,x2,
∴z=2+4i. 解得
y4,y4,
【例3】 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点分别是一个正方形的三个顶
点A、B、C,如右图.求这个正方形ABCD的第四个顶点D对应的复数.
思路分析:利用AD=BC或者ABDC,求点D对应的复数.也可利用正方形的性质,对角线相等且互相平分,相对顶点连线段的中点重合,即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解. 解法1:
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设正方形的第四个顶点D对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),则
AD=ODOA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BCOCOB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i,∵AD=
x11,x2,
BC,∴(x-1)+(y-2)i=1-3i,∴即故点D对应的复数为2-i.
y23,y1,
解法2:
设正方形的第四个顶点D对应的复数为z=x+yi(x,y∈R), ∵点A与点C关于原点对称,∴原点O为正方形的中心. ∴点O也是B与D点的中点,于是由(-2+i)+(x+yi)=0, ∴x=2,y=-1,∴点D对应的复数为2-i. 高手支招5思考发现
1.在解决复数的问题时,如果能用上复数的几何表示,结合几何图形来分析,经常能使过程简化,是数形结合的体现.
2.由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应复数时,通常由其对应关系,列出方程(组)或不等式(组)来解决.
3.复平面内两点间距离公式的复数表示式,由复数减法的几何意义,可得复平面同两点间距离公式:d=|z1-z2|.
其中z1,z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数,d表示Z1和Z2之间的距离.
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