第七章 直线和平面 (一)选择题 1.有下列四个命题： (1)n条直线中，若任意两条都共面，则这n条直线都共面 (2)分别与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 (3)空间中有三个角是直角的四边形是矩形 (4)两条异面直线在同一平面内的射影不可能是平行线 其中，真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中，真命题是( ) A.若直线m、n都平行于平面α则m∥n B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l,则m⊥β C.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n,则n在α内或n与α平行 D.若直线m、n是异面直线，若m与平面α平行，则n与α平行，则n与α相交 3.已知直线a、b和平面α，下列命题正确的是( ) (1)a∥baa (2) baa∥b aabaaab∥a(3) b∥a (4) aa ababA.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4) 4.设α、β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条( ) A.lα，mα且l∥β，m∥β B.lα， mβ且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β且l∥m 5.四棱柱成平行六面体的充分但不必要条件是( ) A.底面是矩形 B.侧面是平行四边形 C.一个侧面是矩形 D.两个相邻侧面是矩形 6.二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，则( ) A.23623 B. C. D. 33237.如图，有共同底边的等边△ABC和等边三角形BCD所在平面互相 垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为( ) A.3211 B. C. D. 42348.正方体ABCD—A1B1C1D1中截面AB1C和截面A1B1C所成的二面角的大小( ) A.45° B.60° C.arccos66 D.arccos 239.如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面CE，侧图中相互垂直的平面有( ) A.3组 B.6组 C.7组 D.8组 10.正方形ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC1与平面ABCD所成二面角的正弦值是( ) A.6332 B. C. D. 3322(二)填空题 11.两条异面直线所成的角为θ，则cosθ的取值范围是 . 12.棱长为1的正方体，PA、PB、PC是共一个顶点P的三条棱，那么点P到平面ABC的距离是 . 13.从三棱锥六条棱的中点中，任选四个作为四边形的顶点.其中为平行四边形的个数有 个. 14.正方体ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角为 . 15.正四棱锥S-ABCD的高为2，底面边长为2，P、Q两点分别在线段BD和SC上 ，则P、Q两点的最短距离为 . (三)解答题 16.已知平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β，求证a∥α. 17.如图，正方形ABCD，E、F分别在AB、CD的中点，G为BF的中点，现将正方形沿EF折成 120°的二面角.求①异面直线EF和AG所成的角；②AG和平 面EBCF所形成的角. 18.圆柱底面半径是3，高是4，A与B分别是两底的圆周上的点，且AB＝5，求异面直线AB与OO 1间的距离。 19.如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ 上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC ①求证AB⊥PQ；②求直线PQ 在面ABC所成角的大小. 20.如图，设ABCD是矩形，沿对角线DB将ABDC折起，使点C在底面DAB上的射影E恰好落在 AB边上 (1)求证：平面ABC⊥平面ACD。 (2)若AB＝2，BC＝3，求二面角C-AD-B的大小及三棱锥C-ABD的体积。 参考答案： (一) 1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 7.B 8.D 9.C 10.A 提示： 6.作AO⊥EF，垂足是O，作OB⊥BC，垂足是B，连AB，易知AO⊥β，AB⊥BC，设AC=a，可得 C O=3BC3aa，CB=，cosθ=. 2CO32 7.作AO⊥BC，连OD，作BE∥DC，DE∥BC交BE于E，连AE.易知∠ABE(或补角)即异面直线AB、C D据所成的角，且AB⊥DE，设正三角形边长为a，可得AB=a，BE=a，AE=5a，由余2弦定理得cos∠ABE=-11，异面直线所成角的余弦值是. 44 2a28.设二面角为θ，易知tgθ=2 (a是正方体棱长). a29.找平面的垂线，即可找出相互垂直的平面，七组是平面ABC和平面ABE，平面ABC和平面BD ；平面ABE和平面BD；平面ABD和平面BD；平面ABD和平面ACE；平面ABC和平面ACD；平面ADF 和平面ABE. (二) 11.［0，1］ 12.3225 13.3 14.arccos 15. 345(三) 16.设α∩β=DE，在平面α内作CB⊥DE，则CB⊥β. ∵α⊥β，∴a∥CB，又∵aα，∴a∥α， 17.①作GM∥EF，则∠AGM是异面直线EF和AG所成的角，可知∠AEM是二面角A-EF-B的平面角 ，∠AEM=120°，又可证 AM⊥MG，设正方形边长为4a，得GM=2a，AM=AE2EM22AEEMcos1207a， ∴tg∠AGM=AM77，异面直线AG和EF成角为arctg. MG22 ②作AO⊥平面BF，O在BE延长线上，连GO，则∠AGO是AG与平面BF所成的角；AO=3a，OG=22a，tg∠AGO=AO66，AG与平面EBCF所成角为arctg. AG4418.解 如图，作母线BC，连结OA、OB、OC、AC，则有：VO-ABC＝VB-AOC OO1∥BC且BC在ABC，OO1面ABC OO1∥面ABC 设O到平面ABC的距离为d，则所求为d BC⊥⊙O所在平面，AC⊙O所在平面 BC⊥AC，而BC＝4，AB＝5故AC＝3 △AOC是边长为3的正三角形 11112(AC·BC)·d＝(·AC·sin60°)·BC 3232解之d=33 219.①过B 作BD⊥PQ于D连AD，由已知有△BCD≌△ACD，∴AD⊥PQ，∴PQ⊥平面ADB，则PQ⊥AB. ②取AB中点H，连DH、CH，设BC=AC=a，则BD=AD=3a，CD=a，由①知∠ADB是二面角223a. 4α-PQ-β的平面角，为60°，且PQ⊥HD， 因此△ABD是正三角形，HD=在Rt△CHD中，tg∠DCH=HD11，∠DCH=arctg，又由∠PCA=∠PCB，知PQ在平面ABCCD221. 2的射影在∠ACB的平分线上，而AC= BC，AH=BH，则CH是∠ACB的平分线，PQ在平面ABC的射影即CH，从而PQ与平面ABC所成的角为 arctg20.(1)证明 因CE⊥面ABD AD面ABD CE⊥AD AB⊥AD，CE∩AB=E AD⊥面ABC，面BC面ABC AD⊥BC DC⊥BC、AD∩DC=D BC⊥面ACD BC面ABC 面ABC⊥面ACD (2)解 因AB⊥DA，CE⊥面ABD，AC在平面ABD上的射影为AE由三垂线定理，AC⊥DA ∠CAE是二面角C-AD-B的平面角。 又BC⊥面ACD BC⊥AC，sin∠CAB=BC3 AB2∠CAB＝60° C-AD-B是60°的二面角 ∠CBE＝30°，CE＝3 2VC-ABD＝ 311111·CE·(AD·AB)＝×××3×2＝ 232322 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/73055d08de36a32d7375a417866fb84ae45cc3b5.html