第34讲 几何变换-图形的折叠(教师版)
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第34讲 几何变换-图形的折叠 中考要求: 考试内容 基本要求 了解图形的轴对称,理图解对应点所连的线段形轴对称 被对称轴垂直平分的变性质;了解物体的镜面换 对称. 考试要求 略高要求 会按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;掌握简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴;掌握基本图形的轴对称性及其相关性质. 较高要求 运用轴对称进行图案设计;与其他变换综合运用解决有关问题. 知识点睛: 一、关于几何变换的一些认识: 在寻求几何问题的解题途径时,几何变换法究竟能起什么样的作用呢?归纳起来,认为至少有以下四个方面: 第一,从理论上讲,全等形与相似形是平面几何中研究的两个最基本、最重要的问题,所以几何变换的思想方法自然是解决其有关问题的重要手段.从形式上看,它是通过对问题的图形的某些部分施行变位、变形,以便化繁为简、化难为易,从而获得一种解题途径.因此,掌握几何变换法,可以使我们用较高的观点来研究几何问题的解法,看清问题的实质. 第二,在寻求几何问题的解题途径时,最困难的一步是添辅助线.但若运用几何变换的观点来进行分析,并注意到问题中图形的某些特征,则就不需要太多的技能技巧,也能迅速地想到应对图形的哪些部分实行变位、变形,从而添出必要的辅助线,是解题的途径显现出来.因此,掌握几何变换法,可以使我们在添辅助线时减少盲目性,增强目的性,进而掌握一些添辅助线的规律. 第三,有些几何问题,由于涉及的元素分散或交错,因而难以发现题设和结论间的关系.但若能适当地运用几何变换法,将图形的某些部分变换到适当的新位置,则常可使分散的元素集中起来,或者把交错的元素适当分散,从而构造出我们所熟悉的基本图形,使问题变得容易解决.所以,掌握几何变换法,可以使我们领会一些处理较困难的几何问题的基本方法与技能. 第四,比较线段与折线或者折线与折线间的长短是较麻烦的.但若能适当地采用几何变换法,将折线的一段或若干段逐次进行变换,则常可将折线化为直线段或另一便于比较的折线,从而发现解题的途径.因此,掌握几何变换法,可以使我们学会一些处理几何问题的特殊的技能与技巧. 二、轴对称的有关概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 三、轴对称的主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y). (2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y). 4.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. (4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等. (5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半. (6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°. (2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴. (3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 四、轴对称的有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 重、难点: 根据题目的已知条件特征,快速、正确的添加辅助线是重点和难点. 例题精讲: 板块一:有关折叠的基础问题 1.折叠后求度数 【例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为( ) A.60° B.75° C.90° D.95° 【解析】C. 【巩固】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 【解析】A. 【巩固】(第19届希望杯数学邀请赛初二第2试试题)如图,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将它折叠, 使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是( ) AEDA3B9DBFCC D.5cm,4cm DA.5cm,10cm B.5cm,3cm A3B9-xxC.6cm,10cm ExOFC【解析】实质上,四边形EBFD是个菱形,在此基础上,连接对角线,充分利用勾股定理来求解. 记DE=x,则AE=9-x,由折叠的对称性可知DE=BE,即BE=x. 在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即32+(9-x)2 =x2,得x=5. 连接BD交EF于点O,由折叠的特点知BD⊥EF,易知BDAB2AD2310, BD3则BO10. 2210而BE=5