第34讲 几何变换-图形的折叠(教师版)
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第34讲 几何变换－图形的折叠 中考要求： 考试内容 基本要求 了解图形的轴对称，理图解对应点所连的线段形轴对称 被对称轴垂直平分的变性质；了解物体的镜面换 对称． 考试要求 略高要求 会按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质． 较高要求 运用轴对称进行图案设计；与其他变换综合运用解决有关问题． 知识点睛： 一、关于几何变换的一些认识： 在寻求几何问题的解题途径时，几何变换法究竟能起什么样的作用呢？归纳起来，认为至少有以下四个方面： 第一，从理论上讲，全等形与相似形是平面几何中研究的两个最基本、最重要的问题，所以几何变换的思想方法自然是解决其有关问题的重要手段．从形式上看，它是通过对问题的图形的某些部分施行变位、变形，以便化繁为简、化难为易，从而获得一种解题途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们用较高的观点来研究几何问题的解法，看清问题的实质． 第二，在寻求几何问题的解题途径时，最困难的一步是添辅助线．但若运用几何变换的观点来进行分析，并注意到问题中图形的某些特征，则就不需要太多的技能技巧，也能迅速地想到应对图形的哪些部分实行变位、变形，从而添出必要的辅助线，是解题的途径显现出来．因此，掌握几何变换法，可以使我们在添辅助线时减少盲目性，增强目的性，进而掌握一些添辅助线的规律． 第三，有些几何问题，由于涉及的元素分散或交错，因而难以发现题设和结论间的关系．但若能适当地运用几何变换法，将图形的某些部分变换到适当的新位置，则常可使分散的元素集中起来，或者把交错的元素适当分散，从而构造出我们所熟悉的基本图形，使问题变得容易解决．所以，掌握几何变换法，可以使我们领会一些处理较困难的几何问题的基本方法与技能． 第四，比较线段与折线或者折线与折线间的长短是较麻烦的．但若能适当地采用几何变换法，将折线的一段或若干段逐次进行变换，则常可将折线化为直线段或另一便于比较的折线，从而发现解题的途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们学会一些处理几何问题的特殊的技能与技巧． 二、轴对称的有关概念 1．轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3．轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 4．等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 5．等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 三、轴对称的主要性质 1．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2．线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 3．(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x，－y)． (2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为P″(－x，y)． 4．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)． (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． (3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴． (4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等． (5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半． (6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边． 5．等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． (2)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴． (3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合． 四、轴对称的有关判定 1．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)． 3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 重、难点： 根据题目的已知条件特征，快速、正确的添加辅助线是重点和难点． 例题精讲： 板块一：有关折叠的基础问题 1．折叠后求度数 【例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( ) A．60° B．75° C．90° D．95° 【解析】C． 【巩固】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 【解析】A． 【巩固】(第19届希望杯数学邀请赛初二第2试试题)如图，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将它折叠， 使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是( ) AEDA3B9DBFCC D．5cm，4cm DA．5cm，10cm B．5cm，3cm A3B9-xxC．6cm，10cm ExOFC【解析】实质上，四边形EBFD是个菱形，在此基础上，连接对角线，充分利用勾股定理来求解． 记DE＝x，则AE＝9－x，由折叠的对称性可知DE＝BE，即BE＝x． 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋(9－x)2 ＝x2，得x＝5． 连接BD交EF于点O，由折叠的特点知BD⊥EF，易知BDAB2AD2310， BD3则BO10． 2210而BE＝5