第二十五课时 对数函数（3） 学习要求 1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等； 2.能熟练地运用对数函数的性质解题； 3.提高学生分析问题和解决问题的能力。 听课随笔 自学评价 1． 2. 3. 4. (,13)上是增函数，a的取值范围． 3212【解】(1)令ux3x2(x)在2433[,)上递增，在(,]上递减， 222又∵x3x20， ∴x2或x1， 2故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函3数， 所以，函数y2log1(x3x2)在(2,)上32【精典范例】 例1：讨论函数ylg(1x)lg(1x)的奇偶性与单调性。 【解】由题意可知：递增，在(,1)上递减． (2)令ug(x)xaxa， 21x0解得：1x0 ∵函数ylog2u为减函数， ∴ug(x)x2axa在区间(,13)上递减， 1x1 且满足u0， 定义域为(1,1) a又Qf(x)lg(1x)lg(1x)f(x) 13∴，解得 f(x)为偶函数 2f(x)lg(1x)lg(1x)lg(1x)(1x)lg(1x2)g(13)0x(1,1) 223a2， 证明：在(1,0)是任取1x1x20 所以，a的取值范围为[223,2]． 2令t1x,x(1,0),则t(0,1) 点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，t11x1，t21x2 t1t2 2(1x12)(1x2) (x2x1)(x1x2) Q1x1x20 x2x10,x1x20t1t20即t1t2 又Qyh(t)lgt在(0,1)上是增函数 lgt1lgt2即f(x1)f(x2) ylg(1x)lg(1x)在(1,0)上单调22首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间． 例3：已知x满足 2(log0.5x)27log0.5x30 ， xx)(log2)的最值。 242(log0.5x)27log0.5x30 【解】由题意：求函数f(x)(log2可转化为：(log0.5x3)(2log0.5x1)0，将log0.5x看作整体， 解得：3log0.5x即log0.50.53递增。 同理可证：ylg(1x)lg(1x)在(0,1)上单调递减。 点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。 例2：(1)求函数y2log1(x23x2)的31， 212log0.5xlog0.50.5， 所以2x8 单调区间． (2)若函数ylog2(xaxa)在区间2xxf(x)(log2)(log2) 24(log2x1)(log2x2) (log2x)23log2x2,x[2,8] 令tg(x)log2x，x[2,8] 则t[12,3] 则yh(t)t23t2,t[12,3] 所以yh(32)1min4，ymaxh(3)2 点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出x的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。 追踪训练一 1． 函数ylg(2xx2)的定义域 是（0，2）,值域是(,0]， 单调增区间是（0，1） 2．求函数 ylog21xlog1x5x[2,4]的最44小值和最大值。 答案：1。定义域：(0,2) 值域：(,0] 单调增区间：(0,1) 2．最小值234， 最大值7 【选修延伸】 一、对数与方程 例4:若方程lg(ax)lg(ax2)4的所有解都大于1，求a的取值范围。 分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。 【解】原方程可化为： (lgxlga)(lga2lgx)4 即 2lg2x3lgalgxlg2a40 令tlgx，则方程等价于 2t23lgatlg2a40(*) 若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则 32lga01(lg2a4)0解得： 2(3lga)242(lg2a4)00a1100 思维点拔： （1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程x24|x|5lgx的实根的个数。 （2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。 追踪训练二 1． 已知方程 lg(x1)lg(3x)lg(ax) （1）若方程有且只有一个根，求a的取值范围 ． （2）若方程无实数根，求a的取值范围 ． 答案：（1）(1,3]U{134} （2）(,1]U(134,) 学生质疑 教师释疑 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7d1d29297b563c1ec5da50e2524de518964bd39b.html