12-2-1 几何变换之平移.讲义教师版

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几何变换之平移

中考要求

内容平移

基本要求

略高要求

能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离

较高要求

能运用平移的知识解决简单的计算问题；能运用平移的知识进行图案设计

了解图形平移，理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质

例题精讲

一、几何变换

几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中．几何变换可以分为以下几类：

1．平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换．平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形全等．

2．轴对称：将图形沿直线翻折．轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保持几何图形全等．

3．中心对称：将图形关于一个点对称．中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等．

4．旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度．旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等．

5．位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换．初中几何暂时不涉及这部分内容．

二、平移变换

1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．

注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．

⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据． ⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等．平移变换前后的图形具有如下性质： ⑴对应线段平行(或共线)且相等； ⑵对应角的两边分别平行且方向一致； ⑶对应的图形是全等形．

注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3．简单的平移作图想一想：

⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面

⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．

⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．４．平移变换的方法应用

⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来． ⑵平移法在应用时有三种情况：

①平移条件：把条件中的某条线段或角平移； ②平移结论：把结论中的线段或角平移；

③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移． 5．平移变换的主要功能：

把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．

应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．

板块一平移的基本概念及性质

【例1】观察图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案的平移得到的是( )

A B C D

【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】

【解析】C，平移后，对应点的连线平行且相等．【答案】C

【例2】在下面的六幅图中，⑵⑶⑷⑸⑹中的图案_________可以通过平移图案⑴得到的．

【考点】图形的平移【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】⑷

【例3】图形经过平移后，图形的性质：①线段的长度；②两条线段或直线的相对位置关系；③角度的大小；

④图形的面积。中不变的有（）

A．1个 A．2个 A．3个 A．4个

【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】

【解析】D，在平移中，图形的各项性质都保持不变．【答案】D

【例4】平行四边形ABCD中，AB4，BC6．O是对角线交点，将OAB平移至EDC位置．

⑴说出平移的方向与距离．

⑵四边形OCED是什么四边形，为什么？

⑶若平行四边形ABCD的面积是20，求五边形ABCED面积．

A

O

D

EC

B

【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略

【答案】⑴沿BC方向平移了6个单位．

⑵由平移的基本概念可知，DE∥AC，CE∥BD，根据平行四边形定义可知，其为平行四边形．

1

⑶SABCEDSABCDSCEDSABCDSABOSABCDSABCD25．

4

【例5】如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边

形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC．

A

D

P

B

C

【考点】图形的平移【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略

【答案】如图所示，将PAB平移至QDC的位置，

A

DQ

P

BC

易证DQAP，CQBP，则四边形DPCQ恰好是一个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边．

【例6】如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿

高的方向向上平形移动2秒，这时，该三角形扫过的面积(阴影部分)．

A'

B'C'

A

B

C

【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答

【关键词】第15届希望杯2试

【解析】三角形ABC扫过面积相当于矩形BCC'B'的面积，当然也可直接计算，为18平方厘米．

【例7】一个水平放置的半圆，直径为10cm，向上平移6cm，求其扫过的面积．

【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】

【解析】面积为10660cm2．【答案】60cm2

【例8】如图所示，在直角ABC中，C90，BC4，AC4，现将ABC沿CB方向平移到ABC的

位置．

⑴若平移的距离为3，求ABC与ABC重叠部分的面积；

⑵若平移的距离为a(0≤a≤4)，求ABC与ABC重叠部分的面积S的取值范围．

A

A'D

C

B'

C'B

【考点】图形的平移【难度】3星【题型】解答【关键词】

【解析】⑴由已知得BCCD1，所以SBCD

11BCDC； 22

⑵0≤S≤8

1

【答案】（1）；（2）0≤S≤8

3

【例9】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于BC，垂足为E．试画出将ABE平移后的图形，使其平

移的方向为点A到点D的方向，平移的距离为线段AD的长．

A

D

BEC

【考点】平移几何作图【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略

【答案】如图，DCF为将ABE以点A到点D的方向，以线段AD的长为平移距离，平移后得到的图形．

A

D

BEC

F

【例10】在公园的一块长方形草地上，准备辟一条小径，现有三种设计方案．三种方案中小径(阴影部分)各

处夹在小径间且平行于草地较长边的线段长都是a米，试比较三种情况下草地面积的大小，并简单说明理由．

⑴⑵⑶

【考点】图形的平移【难度】2星【题型】解答【关键词】

【解析】将图形中右边的草地向右水平平移a，可得下面的矩形，所以三种情况下草地面积大小一样．

a

【例11】请证明：七条直线两两相交，所得的角中至少有一个小于26．【考点】图形的平移【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略

【答案】在平面上任取一点P，将已知7条直线都平移过P点，成为交于P点的7条直线，则它们将以P点

为顶点的圆周角分成彼此相邻的14个角，不妨设为1，2，…，14，它们都和某两条直线的夹角中的一个相等，因此我们只要证明它们之中至少有一个小于26即可．事实上，12…14360，

360

故必有一个i26，这就是所要证明的结果．

14

【点评】因为在平移变换下，角的大小乃至角的两边的方向都不会改变，所以，凡是结论是几个角的和的平

面几何问题，我们都可以考虑通过实施若干平移变换移动所有的角(一般有几个角就作平移几次)，使这些角具有公共的顶点，从而将这些角集中在一起考虑．如凸多边形的外角和定理(即凸多边形的外角和等于360)就可以用平移变换直接证明．

【例12】如图，已知ABC

（1）请你在BC边上分别取两点D，，连结AD，AE，写出使此图中只存在两对E（BC的中点除外）．．．．．

面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明ABACADAE.

A

B

C

【考点】平移类全等问题，三角形的三边关系【难度】4星【题型】解答

【关键词】2007年，北京中考23题【解析】略

【答案】⑴如图1，BDCEDE，ABD和ACE，ABE和ACD

A

B

D

图1

E

C

⑵解法一：如图2，分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于点G 所以ACEFDB，AECFBD 在AEC和FBD中，又CEBD 可证AEC≌FBD，所以ACFD，AEFB，在AGD中，AGDGAD，在BFG中，

BGFGFB0 BGFGFB，所以AGDGAD0，

所以AGDGBGFGADFB0

即ABFDADFB，所以ABACADAE

F

A

G

B

C

D

图2

E

解法二：如图3，分别过点A，两线交于F点，EF与AB交于点G，E作CB，CA的平行线，

连结BF，则四边形FECA是平行四边形所以FEAC，AFCE

因为BDCE，所以BDAF，所以四边形FBDA是平行四边形所以FBAD

在AGE中，AGEGAE，在BFG中，BGFGFB 可推出AGEGBGFGAEFB 所以ABACADAE

FG

A

B

D

图3

E

C

解法三：如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FOAO，连结EF，CF 在ADO和FEO中，又AODFOE，DOEO 可证ADO≌FEO，所以ADFE，因为BDCE，DOEO，所以BOCO 同理可证：ABO≌FCO，所以ABFC，延长AE交CF于G点在ACG中，AGCGAEEG 在EFG中，EGFGEF

可推得ACCGEGFGAEEGEF 即ACCFAEEF 所以ABACADAE

A

B

DO

G

E

C

F

图4

如图，由三角形⑴变换到三角形⑵，下列说法错误的是( )． A．先向右平移2个单位长度，再往上平移3个单位长度； B．先向上平移3个单位长度，再往右平移2个单位长度； C．三角形⑴移动5个单位长度得到三角形⑵ D．三角形⑴可以通过轴对称得到三角形⑵

课后练习

1.

(2)

(1)

【考点】图形的平移【难度】2星

【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】Ｄ

以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行；③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是( )

A．②③ B、②④ C．①② D．①④

【考点】图形的平移【难度】1星【题型】选择【关键词】

【解析】C，①②是平移，③④是旋转．【答案】C 2.

3.

如上右图所示，RtABC沿AC边所在的直线向上平移2cm，若BC4cm，求RtABC扫过的面积．

A'AC'C

B'B

【考点】图形的平移

【难度】2星【题型】解答【关键词】

【解析】RtABC扫过的面积相当于矩形CBB'C'的面积为8cm2．【答案】8cm2

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b7d4a21184c24028915f804d2b160b4e767f812c.html

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