平面直角坐标变换

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§5.7 平面直角坐标变换

为了考虑同一图形在不同的坐标系下的方程之间的关系，我们首先需要建立同一个点在不同的坐标系下的坐标之间的关系，这就是坐标变换的问题，因为我们研究的图形是点的轨迹．

我们仅考虑平面直角坐标变换．

设在平面上给出了由两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j' } 所决定的右手直角坐标系，这里i和j以及i' 和j' 是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系．

由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O' 在 {O；i, j } 中的坐标以及i' 和j' 在 {O；i, j } 中的分量所决定．

任一直角坐标变换总可以分解成移轴〔也叫坐标平移〕和转轴〔也叫坐标旋转〕两个步骤．

1．移轴

如果两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i, j' } 的原点O与O' 不同，O' 在{O；i, j }中的坐标为 (x0，y0)，但两标架的坐标基向量一样，即有

i' = i， j' = j

那么标架 {O'；i', j'} 可以看成是由标架 {O；i, j } 将原点平移到O'点而得来的〔图5.7.1〕．这种坐标变换叫做移轴〔坐标平移〕．

设P是平面内任意一点，它对标架 {O；i, j} 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与

(x,y)，那么有

OPOOOP

但 OPxiyj，

OPxiyj，

y

P

y'

j

jO

i

i

O'(x0,y0)

x'x

OOx0iy0j

于是有

xiyj(xx0)i(yy0)j

故 {x，y} = {x0，y0} ＋ {x'，y' }

根据向量相等的定义得移轴公式为

图5.7.1

xxx0



yyy0

xxx0



yyy0

(5.7－1)

从中解出x' 和y'，就得逆变换公式为

(5.7－2)

2．转轴

假设两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的原点一样，即O = O'，但坐标基向量不同，且有∠(i，i' ) = ，那么标架 {O'；i'，j'} 可以看成是由标架 {O；i，j } 绕O点旋转 角而

得来的〔图5.7.2〕．这种由标架 {O；i，j } 到标架 {O'；i'，j'}的坐标变换叫做转轴〔坐标旋转〕．

下面推导转轴公式．

设P是平面内任意一点，它对 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 (x,y)，即有

OPxiyjOPxiyj

y'

y

P

x'

ji'i

j'O



x

因为∠(i，i' ) = ，新旧坐标根本向量之间有关系

iicosjsin

ππ

jicosjsinisinjcos

22

图5.7.2

于是有

OPx(icosjsin)y(isinjcos)

(xcosysin)i(xsinycos)j

因为O和O'是同一点，OPOP，故可直接得到转轴公式：

xxcosysin



yxsinycos

(5.7－3)

从〔5.7－3〕中解出x' 和y '，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式： xxcosysin



yxsinycos式中的 为坐标轴的旋转角．

(5.7－4)

〔5.7－4〕式也可看成是由标架 {O；i'，j'} 绕O旋转－  角变到 {O；i，j} 的转轴公式．

xx

* 根据线性代数的理论，〔5.7－3〕可写为Q，这里的坐标变换的矩阵

yycos

Q

sin

sin

是一个正交矩阵，因而其逆矩阵Q1QT，逆变换公式可以直接由cos

xTx Qyy写出．



3．一般坐标变换公式

在一般情况下，由旧坐标系O－xy变成新坐标系O'－x'y'，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合，变成坐标系O'－xy，然后再由辅助坐标系O'－x"y" 转轴而成新坐标系O'－x'y'〔图5.7.3〕．

设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为 (x，y) 与 (x'，y' )，而在辅助坐标系O'－x"y" 中的坐标为 (x"，y" )，那么由〔5.7－1〕与〔5.7－4〕分别得

xxx0



yyx0

xxcosysin

与 

yxsinycos

yP

y'

y"

x'





O

图5.7.3

由上两式得一般坐标变换公式为

O'(x0, y0)

x"x

xxcosysinx0



yxsinycosy0

(5.7－5)

由〔5.7－5〕解出x'，y' 便得逆变换公式

xxcosysin(x0cosy0sin)



yxsinycos(xsinycos)00

(5.7－6)

平面直角坐标变换公式〔5.7－5〕是由新坐标系原点的坐标 (x0, y0) 与坐标轴的旋转角  决

定的．

4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换

确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法．

假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式．

设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20

其中A1A2B1B20．如果取直线l1为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是〔x，y〕与〔x'，y'〕．因为 | x' | 是点M〔x，y〕到O'y' 轴的距离，也就是M点到l2的距离〔图5.7.4〕，所以有

图5.7.4

O

O'

l1:A1x+B1y+C1= 0

y

y'

l2:A2x+B2y+C2= 0

My'

x'

x'

x

|x|

同理可得

A2xB2yC2

ABAB

2

122

22

|y|

A1xB1yC1

21

于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式

A2xB2yC2x22

A2B2



AxByC11y1

A12B12

(5.7－7)

为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将〔5.7－7〕式与公式〔5.7－4〕比拟来决定〔5.7

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7ba7ea627b3e0912a21614791711cc7931b778c5.html

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