三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)

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三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定

理)



1



定义

图形

A

性质

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(接圆圆心)

1 三角形的外心到三角形的三个顶点距离

相等.都等于三角形的外接圆半径;

O

B

C

2 锐角三角形的外心在三角形内;

直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外



2

3

4



三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心

A

三角形的三条内角平分线交于一,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)

B

IDH

A

A

M

E

KC

1 三角形的内心到三边的距离相等,都等

于三角形内切圆半径;

2 直角三角形的内心到边的距离等于两直

角边的和减去斜边的差的二分之一

F

1 三角形的重心到边的中点与到相应顶点

的距离之比为 1 2

E

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心



F

B

DG

2 重心和三角形3个顶点组成的3个三角

形面积相等;

C

3 重心到三角形3个顶点距离的平方和最



1,三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍;锐角三角形的垂心



E

C O

D

到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2;

2,锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外

F B

1页,共 2




A

5



三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)

F

B

D

C

1 每个三角形都有三个旁心;

E

Ia

2 旁心到三边的距离相等

附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。

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