数学分析新讲 我们所处的时代是数学分析研究的黄金时期。在过去的几年里，国际数学界发生了巨大的变化。出现了两个很有影响力的事件：其一，丘成桐和王元证明了theMoS conjecture（莫西问题）。其二，哈代、李代数和李群之间存在直接的联系。数学界对这些事件作了大量报道。我们今天就来讲讲分析数学中的核心——微分几何，并提到一个有趣的思想——泡利不相容原理。 虽然经典分析和泛函分析已经成为了数学分析研究中一个十分重要的方向，但是它仍然可以和现代分析有紧密的联系。事实上，无论你走到哪里，都可以看见那些和经典分析中的黎曼和函数性质以及泛函分析中的零空间等等有关的著名的结果。下面让我们用简单的语言介绍一下泛函分析中的线性空间和在黎曼空间和它们上的矩阵。 数学分析在本质上是对一个函数关系，或者说对一个有序对作最一般的讨论，但是这种最一般并不一定需要对每一个元素都加以描述。这种最一般性通常叫做“自然”。例如在平面上找到一个曲线A的对称轴和截面，就是把它看成一个集合S，对S中所有元素进行某种“测试”，看看其对称性如何。或者，设想在空间上找到一个曲线，如果它满足条件1、 2，那么就把它看成一个集合S，把S中的元素取成它的点的轨迹。再进一步，如果有某个函数关系P(x， y)=0，那么P就叫做一个不变量（或者，更确切地说，一个线性空间）。 其实，在泛函分析中，我们真正研究的是不变量空间，而不是给出的一个函数关系。一个定义是否充分和必要只取决于它所包含的不 - 1 - 变量的个数。不变量是个“引理”，它是在不同意义上对函数的“类比”。泛函分析中一个主要的概念是内积，它指的是给定两个函数u(x， t)、 v(x， t)，当t →∞时，则存在一个常数c，它们的内积是一个非负值。这是不变量的内在属性，而不是函数的内在属性。因此，内积不是函数之间的关系，而是函数与函数之间的关系，这个概念叫做泛函。泛函分析研究的是在这种特殊的情况下的函数的关系。尽管在实践中泛函的意义似乎被“夸大”了，但在数学中，泛函作为一个基本概念，仍然被广泛使用。 - 2 - 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/88b71664f211f18583d049649b6648d7c1c70830.html