关于数学分析的一点认识和看法 —数理三班杨绪铁 摘 要 数学分析起源于17世纪，牛顿和莱布尼兹创造微积分而产生，完善于19世纪，由傅立叶、柯西、泊松、刘维尔、傅里叶、黎曼以及其他的数学家完善而成。数学分析由泛函分析研究函数空间、调和分析处理傅里叶级数以及其抽象、复分析等分支组成。数学分析的研究对象是函数，由函数引出其他方面的定义。学习数学分析要抓住主要的学习方法和复习方法。 关键词： 数学分析； 历史； 分支； 学习； 方法； 复习 论文正文 引言： 接触数学分析这门课程到期末也就一学期了，在这一学期里接触到了很多关于数学分析的种种，接下来就让我来说说吧。 论文正文： 数学分析的历史： 数学分析〔mathematical analysis〕 分析学中最古老、最根本的分支.一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论根底〔实数、函数和极限的根本理论〕的一个较为完整的数学学科.它也是大学数学专业的一门根底课程. 数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹创造微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数根本上开展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。 贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。 到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑根底之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。 在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε, δ)定义。此时，数学家们开始担忧他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小〞的研究。 另外,到处不连续函数，连续但到处不可微函数，空间填充曲线也被创造出来。在这个背景下，假设尔当开展了他的测度理论，康托尔开展了现在的朴素集合论，以及贝尔证明了贝尔纲定理。在20世纪早期，微积分用公理化集合论被形式化。勒贝格解决了测度的问题，希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程。赋范向量空间的思想开始流传，到1920年代巴拿赫创立了泛函分析。 实分析是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formally rigorous)的研究。这包括对极限，幂级数和测度的研究。 数学分析在当前被分为以下几个分支领域： 泛函分析研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。 调和分析处理傅里叶级数以及其抽象。 复分析，是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究。 数学分析研究的对象： 数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的根本性态，从而形成微分学和积分学的根本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学那么从总体上研究微小变化〔尤其是非均匀变化〕积累的总效果，其根本概念是原函数〔反导数〕和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容. 正如拉格朗日定理： 如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点(a,b)使f'()f(b)f(a)ba，如图2 比拟定理条件，需要构造辅助函数。除其他条件外，要抓住两点：一是断点函数值相等；F'()二是f(b)f(a)ba为常数，且设之为k。 k〔1〕由拉格朗日定理结论f(b)f(a)f(b)f(a)k(ba)0，可构造辅助函ba数g(x)f(x)f(a)k(xa)，那么g'(x)f'(x)k且g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，g(a)g(b)0。根据罗尔定理，存在(a,b)使g'()f'()k0，即 f'()k f(b)f(a)ba定理得证。 学习数学分析的方法： 1、牢牢掌握中学的函数知识，这是前提； 2、理解并掌握“极限〞的概念，它是数分的根本工具； 3、导数、微分、积分，都是以极限为武器来给出的定义； 4、搞清几个关系： 〔1〕、导数与微分，是两个概念，一个是两个增量之比的极限，一个是函数增量的主部；但微分要借助导数来计算。 〔2〕、不定积分和定积分，也是两个概念。不定积分是导数的逆运算，是求原函数；定积分是和式的极限。但定积分的计算要借助于不定积分。 5、那就是多做题了。在作题中加强对概念、定理、法那么、公式的理解。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f0e29ae75a1b6bd97f192279168884868762b8a6.html