关于有余数的除法 形如18÷5这样的有余数的除法，大家都会做，前提是：b÷a＝q „„ r或b＝aq＋r中，a，b，q，r∈Z（整数），a≠0。 值得注意的是，如果a＝0，那么a只能整除0；因为0÷0相较18÷0，至少在运算上说得通，前者有无数结果，而后者没有结果。 但事实上，上例仅仅是有余数除法中的一部分，譬如面对形如：（－18）÷5、18÷（－5）、（－18）÷（－5）的运算时，我们则多少会有些迷惑。下面对此做一探讨，抛砖引玉或抛砖引砖都行。讲得不好，情愿挨“砖”！ 分三种情况： 共同前提：｜余数｜＜｜除数｜ （即绝对值）。 ①商×除数＜被除数（通俗说，即在除的过程中每一步皆不能出现被除数减不过商与除数之积的情况），则： 18÷ 5＝ 3 „„ 3 （－18）÷ 5＝－4 „„ 2 18÷（－5）＝－3 „„ 3 （－18）÷（－5）＝－4 „„ 2 大家可以列竖式试做，也可得到。可见，由于规则，余数皆为正数。 ②余数与被除数同号，则： 18÷ 5＝ 3 „„ 3 （－18）÷ 5＝－3 „„ －3 18÷（－5）＝－3 „„ 3 （－18）÷（－5）＝ 3 „„ －3 可见，由于规则，4个商、4个余数的绝对值各自相等。 ③余数与除数同号，则： 18÷ 5＝ 3 „„ 3 （－18）÷ 5＝－4 „„ 2 18÷（－5）＝－4 „„ －2 （－18）÷（－5）＝ 3 „„ －3 有必要提醒一下，在办公软件Excel中，有一个取余函数mod(被除数，除数)，所采用的规则是上述第三种，大家可以验证一下。接下来，本文将重点放在上述三种规则的对比上，或者说是计算机为何采取第三种方法。 窃以为，余数与除数同号，更能反映运算的一贯性或者说是运算的本质。在有余数的除法中，当除数为n（n∈Z+），与之相关的所有的除法运算被分为n类，即余数依次为0，1，＋2，„„，n－1的n类运算。与此相应，对除数为－n（n∈Z），定义为以下n类：0，－1，－2，„„，－（n－1）＝－n＋1。结合上例，即除数为5时，余数依次为：0，1，2，3，4；余数为－5是，余数依次为0，－1，－2，－3，－4。如此便能理解上述第三种规则了。事实上，长远来看，上述第三种规则在今后的同余运算中不会带来混乱，届时，也将更进一步印证，该规则反映了“运算所具有的一以贯之的本质属性”。 至于，何以思及三种规则，有些缘由。在小学里，师者经常强调余数是被除数在平均分后剩余的数，因此，余数与被除数的单位一致。这是一种好的讲解。上述规则一，来源于对正常除法竖式计算的思考与类推；规则二，来源于除法的现实意义（即“平均分”的初步意义），拟将余数与被除数在更大的范围内统一起来；规则三，则更深入地体现了有余数的除法运算中的本质特点，即余数与除数在运算中更具有某种“深入”的关系（即可用于构建无论正负的模n的剩余类）。如此思路，可作参考。 呵呵，吹毛求疵，完了，最好是“砖玉”横飞„„ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9c16b17e011ca300a6c3903e.html