碰撞中的柯尼希定理及恢复系数的应用

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碰撞中的柯尼希定理及恢复系数的应用

宿豫中学王重庆 2019.11.4

PS:在范文大全上看到了一篇《由柯尼希定理想到的》教学随笔，它让我明白了质心速度公式的推导、碰前碰后相对质心动能公式的推导；笔者于是把它稍作修改和整理，以便交流学习之用。

11n22

柯尼希定理：质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和，即：EkMvCmivir

22i1

其中，M表示质点组的总质量，mi表示其中第i个质点的质量，vir表示第i个质点相对质心的速度。

第一部分等效重心法的应用

等效重心（质心）法是用一个有质量（等于质点组的总质量）的点来替代整个质点组的处理问题的方

法。它往往可以使复杂的问题简单化，因此在解题的过程中如果能正确的使用，往往会事半功倍。题1：如图所示，长为L的轻杆的左端和中间分别固定着一个质量为m的小球，将杆拉至水平，然后无初速度释放。忽略一切阻力作用。问：当杆摆至竖直时，两球的速度分别为多大？

我们可以用等效重心法和用柯尼希定理来解这道题，其结果是不同的，等效重心法的解是错的。导致这个错误的原因就是二者到最低位置时，只考虑了重心的动能而没有考虑两球相对于质心的动能。

但是，在其他一些时候，则各质点相对于质心的速度都是零（比如物体平动）。那么，各质点相对于质心的动能也为零。用等效重心法就可以了，看下面的这道题：题2：如图所示，一匀质链条对称的搭在一光滑的小定滑轮上。书籍链条的质量为m，长度为l，现给其一微小扰动，使它由止滑离小定滑轮。则它刚滑离小定滑轮时的速度是多少？

题3：如图所示，质量为m，长为l的均质链条一半搭在倾角为30的斜面上。现由静止释放，则链条刚离开斜面时的速度为多少？



第二部分恢复系数的意义

'

m1与m2两个小球发生正碰，碰前m1、m2的速度分别为v1和v2；碰后它们的速度分别为v1'和v2。



'

v2v1'

则恢复系数定义为：e；

v1v2

碰撞中动量是守恒的，即水平方向外力之和为零。由质心运动定理可知，质心将做匀速直线运动，即质心的动能不变。结合柯尼希定理我们知道，碰撞前后质点组的动能发生变化，必然是质点相对质心的动能发生了变化。

m1r1m2r2d2mm121dr12质心的动能： EkC1m1m2vC m1m2Cm1m22dt22dt



2

1

mvm2v2m1v1m2v21

m1m211 22m1m2m1m2

两球碰前相对于质心的动能：

22

Ekr

112

m1v12m2v2EkC22

2

m1v1m2v21122

m1v1m2v2

222m1m2

1m1m22

v1v2

2m1m2

'kr

1m1m2''2

同理可知，两球碰后相对质心的动能：Ev2v1

2m1m2

则：

'v2v1'e

v1v2

'Ekr

Ekr

'Ekre2Ekr

碰撞损失的动能：E(1e)Ekr

2

1m1m22

(1e2)v1v2

2m1m2

若为完全弹性碰撞，e1，E0；若为完全非弹性碰撞，e0，E

1m1m22

v1v2，能量损失最大，只剩下质心动能；

2m1m2

若为非完全弹性碰撞，0e1，动能有部分损失。

2

mvm2v2不变； pPS:在碰撞过程中，如果系统的动量守恒，则质心动能不变，即EkC11

2(m1m2)2m1m2

2

但是物体组相对于质心的动能Ekr

1m1m22

v1v2，有的资料上也把这部分能量叫做资用能。

2m1m2

资用能（Available energy），为了研究微观粒子的结构和相互作用以及反应机制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去撞击静止靶中的粒子，以观测反应的结果，与理论互相印证。然而，在实验室参考系中的质心动能在反应前后是不变的，并不参与粒子间的反应，真正有用的能量，即资用能，只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能。现代的加速器多采用对撞机形式，它是使两束相同的高能粒子沿相反方向运动，加速到很高的能量后进行对撞。这样一来，实验室系和质心系便统一起来了，碰撞的全部能量都是资用能。

Ek

mm112

MvCu2，其中Mm1m2、12为约化质量、相对速度uv1v2。

m1m222

2

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a151d9ce8c9951e79b89680203d8ce2f0066658a.html

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