2012嘉定区数学一模(文)(答案)

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2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）

参考答案与评分标准

一．填空题

1．1i；2．5；3．x1（x1）；4．1；5．5；6．{x1x2}；7．20；

2n3n11228．8；9．；10．90；11．18；12．1,． ；13．ab；14．

4262

二．选择题

15．A；16．B；17．A；18．C．

三．解答题 19．（1）在△ABC中，因为AB2，AC4，

A1

B1

C1

ABC90，所以BC23．…………（1分）

1

SABCABBC23．………………（1分）

2

所以S2SABCS侧2SABC(ABBCAC)AA1

A C

43(2234)424123．…………（3分） B

（2）连结BC1，因为AC∥A1C1，所以BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或

其补角）．…………（1分）

在△A1BC1中，A1B25，BC127，A1C14，…………（1分）

A1B2A1C1BC15

由余弦定理，cosBA1C1，…………（3分）

2A1BA1C110

所以BA1C1arccos

22

5

．…………（1分） 10

5

．……（1分） 10

即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos20．（1）由题意，点P的坐标是

31



2,2，点Q的坐 

标是(cos,sin)，……（1分）

34

，sin，……（2分） 553

所以coscoscossinsin

6665

31

（2）由题意，f()2,2(cos,sin)





sin，……（3分）

3

所以cos

341433

．……（3分） 

2521031

cossin 22

4,，…………（2分） 333

33,1．即函数f()的值域是,1．…………（3分）所以sin322

因为[0,)，所以

21．（1）当a0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；……（1分）当a0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x1和x1；……（1分）当0a1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆； …………（1分）当a1时，曲线C的轨迹是圆xy1； …………（1分）当a1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆． …………（1分）

2

2



yx12

(a1)x2axa10……① …………（2分）（2）由2，得2

xay1

2

因为a1，所以方程①为一元二次方程，△4a4(a1)(a1)40，所以直线l与曲线C必有两个交点． …………（1分）

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1，x2为方程①的两根，所以

2aa1

，x1x2， …………（1分） x1x2

a1a1

所以|MN|

(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)2

2

2

a12a

2(x1x2)4x1x222，……（2分） 4

a1a1

所以a22a30，解得a1或a3． ……（2分）

2222

因此曲线C的方程为xy1或x3y1． ……（1分）

22．（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，Tn所以Sn2n24n． …………（1分）

所以a1S16，当n2时，anSnSn14n2，而a1也满足此式．……（2分）所以{an}的通项公式为an4n2．…………（1分）（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，Sn当n为奇数时，Sn

n1

， 

Sn2n4

3n

，……（1分） 2

3(n1)3n1

． …………（1分） 1

22

2

,当n为偶数3

所以Tn． ……（3分）

2n,当n为奇数3n1

2

所以limTn． ……（2分）

n3

（3）假设存在实数，使得当x时，f(x)

an

对任意nN*恒成立，则n1

4n2

对任意nN*恒成立，…………（1分） n1

24n2

令cn，因为cn1cn 0，所以数列{cn}是递增数列，…（1分）

(n1)(n2)n1

2

所以只要x4xc1，即x24x30，解得x1或x3．…………（2分）

a

所以存在最大的实数1，使得当x时，f(x)n对任意nN*恒成立．（2分）

n1x24x

23．（1）a0时，f(x)是奇函数；……（2分）

a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）

aa2

（2）当x[0,2]时，f(x)xaxx，函数f(x)图像的对称轴为直线

24

2

2

x

当

a

．……（1分） 2

a

0，即a0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数，所以m(a)f(0)0；…（1分）

2

aaa

当02，即0a4时，函数f(x)在[0,]上是减函数，在[,2]上是增函数，

222

aa2

所以m(a)f()；……（1分）

24

当

a

2，即a4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数， 2

所以m(a)f(2)42a．……（1分）

a00,

2a

综上，m(a),0a4 ．……（2分）

442a,a4

（3）证法一：

若a4，则x0时，f(x)x4x，方程可化为x24x即

2

4

0， x

4

x24x．……（2分） x

42

令g(x)，h(x)x4x，在同一直角坐标系中作出函数g(x) h(x)在x0时的

x

图像．…………（2分）

因为g(2)2，h(2)4，所以h(2)g(2)，即当x2时

y

O 2 x

函数h(x)图像上的点在函数g(x)图像点的上方．……（3分）所以函数g(x)与h(x)的图像在第一象限有两个不同交点．即方程f(x)证法二：

若a4，则x0时，f(x)x4x，方程可化为x24x即x24x令g(x)

2

4

0有两个不同的正数解．…………（1分） x

4

0， x

4

．…………（2分） x

4

，在同一直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)在x0时的图像．……（2分） x

y O

2

x

因为f(2)4，g(2)2，所以f(2)g(2)，即当x2时，函数f(x)图像上的点在函数g(x)图像点的上方．…………（3分）

所以函数f(x)与g(x)的图像在第四象限有两个不同交点．所以方程f(x)

4

0有两个不同的正数解．…………（1分） x

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a708a127f22d2af90242a8956bec0975f565a471.html

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