对比学习角平分线、线段的中垂线 一、定义 ⑴角平分线就是从角的顶点出发把一个角分成两个相等角的射线. 说明:⑴一个角的平分线是一条射线,它在角的内部. ⑵一个角沿着它的平分线对折后,角平分线两旁的部分能够完全重合. ⑵线段的垂直平分线是垂直于这条线段并且平分这条线段的直线. 说明:线段的垂直平分线是一条直线. 二、性质定理 ⑴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； O B F 1 2 P E 图1 M C A A N 图2 B ⑵线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 作用:证明两条线段相等. 符号语言:如图1,∵点P在∠AOB平分线上, PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF. 如图2,∵点M在线段AB的垂直平分线上, ∴MA=MB. 三、逆定理 ⑴到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; ⑵和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 作用:证明点在角平分线或在线段的垂直平分线上. 符号语言: 如图1,∵PE=PF, PE⊥OA,PF⊥OB,∴点P在∠AOB平分线上. 如图2,∵MA=MB, ∴点M在线段AB的垂直平分线上. 四、三角形的角平分线和中垂线的性质 ⑴三角形的三个内角的平分线是三条线段，它们交于一点，交点到三边的距离相等. ⑵三角形的三边的中垂线是三条直线,它们交于一点,交点到三个顶点的距离相等. 例1:已知:如图3,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA平分线,它们交于P,PD⊥BM于M，PF⊥BN于F. 求证:BP为∠MBN的平分线. 分析:要证BP为∠MBN的平分线,只需证PD=PF,而PA、PCB D A E C F 图3 M P N 1 / 2 为外角平分线.故可过P作PE⊥AC于E,根据角平分线性质定理有PD=PE,PF=PE则有PD=PF,故问题得证. 证明:过P作PE⊥AC于E. ∵PA、PC分别是∠MAC与∠NCA平分线,PD⊥BM，PF⊥BN(已知), ∴PD=PE,PF=PE(角平分线上的点到角两边距离相等). ∴PD=PF. 又∵PD⊥BM，PF⊥BN(已知), ∴点P在∠MBN的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上). ∴BP为∠MBN的平分线. 说明:有角平分线时常过角平分线上点向角两边作垂线,根据角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例2:如图4,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC，DF∥AB. 求证: AD⊥EF 分析:易知EA=ED，从而点E在AD中垂线上，同理F也在AD中垂线上，而过E、F只能确定一条直线, ∴EF为AD的中垂线. 证明:由AD平分∠BAC得∠1=∠2,而DE∥AC，有∠3=∠2,于是得∠1=∠3，有EA=ED，知E在线段AD中垂线上，同理可证B E 3 4 图4 A 1 2 F D C FA=FD知F也在线段AD中垂线上，∴直线EF为线段AD的中垂线, ∴AD⊥EF成立. 点拨:角平分线性质定理和中垂线性质定理一样,可以避免证明全等,直接得出线段相等的结论. 2 / 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/bd32f2ad541252d380eb6294dd88d0d232d43cf3.html