高中棱台棱锥OK

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三. 棱锥及相关概念

1．定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥

2．相关概念：

（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面 SAB、SAE 等；（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如顶点S、A、B、C 等；（3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，如侧棱SA、SB等；（4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面，如底面ABC、ABCDE等；（5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高，

3. 如何理解棱锥？

（1）棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征： ①有一个面是多边形；

②其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。（2）棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，是棱锥? 4．棱锥的分类：

（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体! 三棱锥四棱锥五棱锥（四面体）

（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中

心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥!

5．正棱锥的性质：

（1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；

（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高!

6．棱锥的表示：

（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P－ABC，四棱锥S－ABCD. （2）用对角面表示：如四棱锥可以用P－AC表示.

四．棱台及相关概念

1．定义：棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.

2．相关概念：

（1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；（2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面；（3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；

（4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。

3．棱台的分类：

（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

1

正四棱台

4．正棱台的性质：（1）各侧棱相等；

（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；（3）正棱台的斜高相等。

5．棱台的表示：

棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如可以记作棱台ABCD－A’B’C’D’，或记作棱台AC’.

棱柱、棱锥、棱台之间的关系

棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，

棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥. 【知识要点】

1．简单空间几何体的基本概念：

(1)

(2)特殊的四棱柱：

(3)其他空间几何体的基本概念：几何体正棱锥正棱台圆柱圆锥圆台球面球几何体

基本概念

底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心

正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体

以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体

半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球面所围成的几何体

性质

补充说明

2．简单空间几何体的基本性质：

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等

对角面都是矩形

的多边形

(2)长方体一条对角线的平方等于一

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是

个顶点上三条棱长的平方和

平行四边形

(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影

组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角

棱柱

正棱锥

2

形

(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球面心的截面叫球的小圆

(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截(2)在球面上，两点之间的最短距离，

就是经过这两点的大圆在这两点间22

面圆的半径r满足rRd

的一段劣弧的长度(两点的球面距离)

球

3．简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：

①概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在内关于直线l的平行投影．平面叫投射面，直线l叫投射线．

②平行投影的性质：

性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：

①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．

将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．

③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积：

3

(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：

①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高． ②S正棱锥形面积③S正棱台侧面积

1

ch，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． 21

，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台(cc)h，其中c＇

2

的斜高．

④S圆柱侧面积＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长． ⑥S球＝4R2，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：

①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高． ②V锥体③V台体的高． ④V球

1

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31

，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体h(SSSS)，其中S＇

3

43

πR，其中R是球的半径． 3

边长

正三角形

a

正方形 a

正六边形

a

长：2a；短：3a

2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据：

对角线长边心距面积外接圆半径

一、选择题

2a

3a 632a 43a 3

a 2

a2

3a 2332

a 2

a

2a 2

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．

主视图左视图俯视图 (第1题)

A．棱台

B．棱锥

C．棱柱

D．正八面体

@2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1

4

的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．

A．2＋2

B．

1＋2

2

C．

2＋2

2

D．1＋2

3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A．3

B．23

C．33

D．43

@4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．

A．25π

B．50π

C．125π

D．都不对

@5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A．3∶1

B．3∶2

C．2∶3

D．3∶3

@6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．

A．

9π 2

B．

7π 2

C．

5π 2

D．

3π 2

@7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．

A．130

1．A

解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．

2．A

解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝3．A

解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面＝4×4．B

解析：长方体的对角线是球的直径， l＝32＋42＋52＝52，2R＝52，R＝5．C

解析：正方体的对角线是外接球的直径．

B．140 C．150 D．160

1

(1＋2＋1)×2＝2＋2． 2

3

＝3． 4

52

，S＝4πR2＝50π． 2

5

6．D

31

解析：V＝V大－V小＝πr2(1＋1.5－1)＝π．

23

7．D

2

解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l12＝152－52，l2＝92－52， 2而l12＋l2＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面＝4×8×5＝160．

8．D

解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱， 313151

V＝2×××3×2＋×3×2×＝．

42223

9．B

解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．

10．D

解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.

2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（） ① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱

A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②

。

正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图甲乙丙

3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（） A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥

@5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A

21

倍 B 倍 C 2倍 D 2倍

42

@1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A

1214

B 24

6

14

2

@2、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6，则它的体积是( )

C

D

A 955 B 955 C 355 D 355

@3、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（）

A 2 B 2.5 C 5 D 10

@4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）

A 3：2 B 2：1 C 4：3 D 5：3

D1 C1

@5、如图，在棱长为4的正方体 A1

P B1

ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝

A

12

1

A1B1，则多面体P-BCC1B1 4

D

A

B

C

的体积为（）

816 B C 4 D 16 33

@6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）

A 1：2：3 B 1：7：19 C 3：4：5 D 1：9：27

（１） @1、若三球的表面积之比为1：2：3，则其体积之比为（） A 1:2:3 B 1:2:3 C 1:22:23 D 1:4:7

@2、已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（） A 202 B 252 C 50 D 200

@3、木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地60球表面积的（）

A 60倍 B 6030倍

7

C 120倍 D 12030倍

@４、一个四面体的所有棱长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A 3 B 4 C 33 D 6

@6、半球内有一内接正方体，，则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为（）

55

B 612C D 以上答案都不对

2

A

@2、中心角为1350，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于（）

A 11：8 B 3：8 C 8：4 D 13：8

@3、设正方体的表面积为24，一个球内切于该正方体，则这个球的体积为（）

3284 C  D  333

@4、若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些

A

6 B

水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，且恰好装满，则水面高度是（） A 63cm B 6cm C 2318cm D 3312cm @6、已知正方体外接球的体积是A 22 B

32

，则正方体的棱长为（） 3

234243

C D 333

5.关于直观图画法的说法中，不正确的是

A.原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，且其长度不变 B.原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，且其长度不变 C.画与xoy对应的坐标系xoy时，xoy可等于135 D.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同。

6.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③矩形的直观图是矩形；④.菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D ①②③④

8. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为2,3,6,则这个长方体的对角线长为 A．23 B.32 C.6 D.6 12.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 A.2倍 B. 题号

'''

'''



221倍 C.倍 D.倍 422

3

4

5

6 8

7

8

9

10

11

12

1 2

答案 D A D C B A D D C D D 1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16

2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

B

(A)9

(B)10

(C)11

(D)12

二、填空题二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）. 13.已知一个圆锥，过高的中点且平行于底面的截面的面积是4，则其底面半径是

4



22

14.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别是36cm、64cm，

则这两个平行平面间的距离是 2cm或14cm .

15.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积等于 22.

16.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为. 10 . ．．

9.在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．



.

8．74 9、2 10．B 11．②④

8、半径为15cm，圆心角为2160的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是———————————

10、棱长为a，各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的表面积为——————————体积为—————————

12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．

9

15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．

16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．

11．参考答案：5，4，3．

解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台． 12．参考答案：1∶22∶33．

r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，r13∶r23∶r33＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33． 1

13．参考答案：a3．

6

解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分点，三棱锥O－AB1D1的高h＝

333111a，V＝Sh＝××2a2×a＝a3． 343633

另法：三棱锥O－AB1D1也可以看成三棱锥A－OB1D1，它的高为AO，等腰三角形OB1D1

为底面．

14．参考答案：平行四边形或线段． 15．参考答案：6，6．

解析：设ab＝2，bc＝3，ac＝6，则V = abc＝6，c＝3，a＝2，b＝1， l＝3＋2＋1＝6． 16．参考答案：12．解析：V＝Sh＝πr2h＝

4

πR3，R＝364×27＝12． 3

5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于______．

6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积是______．

10

7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．

6．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为____________.

7．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为____________.

8．14．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____________.

① ④ ⑥ ① ④ ① ②

（）（⑤2）（ ②（ 4） 3）⑥ ⑤⑥ ③ 1⑤ ⑥

④ ③ ③ ① ④

9．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直

③ ② ② ⑤ 平行六面体}，则这几个集合的关系是____________.

11、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，由A 到C1在长方体表面上的最短距离为多少？ D1 C1

A1 B1

D C

A B

11、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋化了，会

溢出杯子吗？（半球半径等于圆锥底面半径）

4cm

12cm

12、有三个球和一个边长为１的正方体，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。

11、一个三棱柱的三视图如图所示，试求此三棱柱的表面积和体积。

23

2

11

A1

12、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

A 用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥

C-A1DD1的体积与剩余部分的体积比。

D1

B1

D

B

C1

C

13.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．

40

12．略 13．3cm

例1.有四个命题：① 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；② 底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③ 棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；④ 四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形。其中正确的命题有 . ③ ④

例2. 已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2 ，计算它的高和斜高。

11

210

2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）

（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥

D

3．过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为 a，则截得的正三棱锥

的高为。

12

3a3

4．正四面体棱长为 a，M，N为其两条相对棱的中点，则MN的长是。

2a2

10．如图，在圆锥SO中，其母线长为2，底面半径为

1

，一只虫子从底面圆周上一点A2

出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A点，则这只虫子所爬过的最短路程是多少？

例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．

(Ⅰ)证明：PA⊥BC；

(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．

【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据

13

正三棱锥的基本性质进行求解．

证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥，

∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．

(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD∴SPBC

PB2BD2

1

4b2a2, 2

1aBCPD4b2a2. 24

3a

4b2a2. 4

∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是

3a2

∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,

43a23a3a

4b2a2(a12b23a2) ∴三棱锥P－ABC的表面积为444

(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心， ∴OD

113a3a

AD, 3326

在Rt△POD中，PO

PD2OD2

3

3b2a2, 3

13a23a222

3ba3b2a2. ∴三棱锥P－ABC的体积为43123

【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt

△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．

例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．

(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．

【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

14

∴BE⊥AA1．

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，

∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．

(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．

∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1， ∴AB1∥平面BEC1．

例3 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB2DC45．

(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； (Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．

证明：(Ⅰ)在△ABD中，

由于AD＝4，BD＝8，AB45，

所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，

又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD． (Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，

由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高，

3

423. 2

4885

，即为

545

15

所以四边形ABCD的面积为S

254585

24.故

52

1

VPABCD2423163.

3

例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)

(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；

(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．

【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．

证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：

(Ⅱ)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥446(22)2(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'．因为E，G分别为AA'，A'D'中点，所以AD'∥EG，

从而EG∥BC '．又BC'平面EFG，所以BC'∥平面EFG．

1312284

(cm2). 3

例6 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．

16

【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1

的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如

VFA1ED1VA1EFD1，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．

解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G． ∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，

∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离． ∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1EG

1131SA1EGA1D1a2aa3. 3388

解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH，

FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．

∵A1D1∥EH， A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面． ∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．

又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE． ∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离．容易求得FK

35115235a13

a,VFA1ED1SA1ED1FKaa. 10433108

9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点．

17

(Ⅰ)求证：BD1∥平面ACE；

(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高

为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(Ⅰ)求该几何体的体积V； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S．

11．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，

且AE＝FC1＝1．

(Ⅰ)求证：E，B，F，D1四点共面； (Ⅱ)若点G在BC上，BG

2

，点M在BB1上，GM⊥BF，求证：EM⊥面BCC1B1． 3

18

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ca722b6eab956bec0975f46527d3240c8447a1e9.html

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