二项树定价模型 这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型。至今为止，有三种不同的期权定价 模型。第一种模型是 Black和Scholes (1973)建立的。在市场无摩擦、存在可连续交易的 假设下，由持有股票的多头头寸，和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸， 形成一个无风险的套期保值证券组合。这种思路是解决期权定价问题的关键。第二种模型 是从Harrison和Kreps (1979)开始的。在市场无摩擦和完备的假设下，市场无套利等价 于存在唯一的等价鞅测度，市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。第三 种是比较直观的模型。这种模型采用二项分布，是由 Cox, Ross和Rubinstern (1979), Rendleman和Bartter (1979)独立得到的。前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数 学工具。除了容易理解外，第三种模型一一二项树定价模型。不仅为欧式看涨期权提供闭 形式的解，而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时，这种方法也能提供 解。所以，我们先在这一章里介绍第三种模型一一二项树定价模型。该模型由 Sharpe (1978)提出， Cox, Ross and Rubinstein ( 1979)对它进行了拓展。尽管最初提出二项树 定价模型的目的是为了避开随机分析来解释 Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成 为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。关于后两种模型，我们在以后的章节中 在应用二项树定价模型时，最重要的是 合成构造(synthetic construction )或者套期 保值(hedging)的概念。套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定价问题。 假设一种人身保险，对象为 60岁健康的老人：如果从投保之日起，在一年之内被 投保人去世，保险公司支付投保人 100000元，否则，保险公司不支付任何款项。这种险种 的价格为2300元。现在，某公司 60岁的总裁向你贷款，条件是，如果一年后他还健在， 他支付给你100000元，否则，你回收不了任何贷款。问题是，你到底应该贷多少给这位总 裁。 代表这位总裁答应支付给你 100000元的这份协议，其实是你购买的一份证券，从这个 rf 角度来看，问题变成，这份证券的价格为多少？由无套利原理，这个价格显然依赖于市场 上已有的证券：保险公司的保险和无风险利率。作为投资者，你将利用套期保值来对冲投 资的风险。假设无风险利率为 =8%。你贷款P给公司总裁(即，你以价格 险公司的赔偿 偿，但你按照协议从这位总裁处得到 P买了一份证 券)，再花2300元给这位总裁买一份保险。一年后，如果这位总裁去世，你不能追回任何 贷款，但你得到保100000元。如果这位总裁健在，保险公司不会支付任何赔 100000元。所以，无论哪种情况发生，你都会得到 100000元。这正是套期保值的实质所在：利用证券彼此在不同状态下的风险来对冲彼此的 风险，以达到整个证券组合无风险的目的。下表列出了本例中套期保值的过程。 证券 不确定事件 总裁去世 总裁健在 成本 贷款 保险 总和 0 100000元 100000元 100000 元 0 100000 元 P 2300 元 92592.59 元 由无风险利率，无风险证 券组合 现在的价格为92592.59元。由此，你现在贷款为 P=90292.59 元。 我们也可以把上面例子中的套期保值过程视为由贷款和保险构造出了无风险证券。 实际上，由于未来不确定状态只有两个，市场中只需要存在两种不完全相关的证券就使得 市场是完备的，而我们有三种证券(贷款、保险、无风险证券)，市场是完备的，所以我 们可以用三种证券中的任何两种来构造第三种。这是所有完备市场定价方法的本质所在。 在这一章中，我们利用股票和期权来合成构造无风险证券。同样，我们也可以由股 票和无风险证券来合成构造期权，这时，我们不仅仅给出了期权的价格，也给出了构造期 权的策略。 期权定价的二项树定价模型给出了别的衍生证券定价和构造的重要思路。事实上， 如果理解了这种方法的基本逻辑，我们也理解了现代使用的大多数衍生证券模型的基本逻 辑。在这一章中，我们也用二项树定价模型来刻画以股票为标的物的期货合约的期货价 格。 在这样章中，我们假设标的股票不支付任何红利，且市场满足我们在第二章给出的 假设： 假设1:市场无摩擦（无交易成本，无买卖差价 制，无税收） bid-ask spread,无抵押，无卖空限 假设2：无违约风险 假设3:市场是完全竞争的 假设4:价格一直调整到市场无套利 我们还假设： 假设5:利率是确定的 这个假设是为了减少复杂性。当期权的到期日很短时，或者标的物价格对利率变化的敏感 度不大时，这也是一个比较合理的假设。 1. 以股票为标的物的看涨期权的简单二项树定价模型 为了理解二项树定价模型的思路，我们先从最简单的一期模型开始研究，再推广到一 般。 例子：假设标的股票的价格服从二项分布产生的过程，如图 1所示 图1一期二项式生成过程 这里 S0 =100元=股票现在的价格 q =0.5=股票价格上涨的概率 rf =0.0618= 一期的无风险利率 u =1.27=股票价格上涨的乘子 d = 0.85=股票价格下跌的乘子 现时股票的价格 100元。到期末，该价格以一半对一半的机会（ 者跌为85.21元。 对rf的限制为u〉1+rf》d ,这是无套利条件，也是保证在套期保值过程中解的存 在性的条件。直观地可以看出，无论是 q=0.5）涨成127.12元或 1・rf u d （这时，无风险利率总比股票的风险回 K =110元，到期日为一期， 报率高）还是u d 1 rf （这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机 会。 现在，考虑以股票为标的物的欧式看涨期权，执行价格为 它的现价以c表示。该期权在到期日的支付如下图。在我们的数字例子里，期权在期末的 支付是50/50的机会分别为 max（0,uS^ -K ]=17.12元或者max b,dS0-K ]=0。那么，期权的 公平价格为多少？ 图2欧式看涨期权的支付 为了解决这一问题，我们利用股票和无风险证券来合成构造期权：以价格 这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都于期权的到期支付相 等，则满足要求。 图3套期保值证券组合的到期支付 让支付相等，得到: 100元买m 份股票（m称为套期保值比率），买 B元无风险证券。下图说明了这个套期保值证券组合 的到期支付。如果B = -32.78 m =0.4085 因此，套期保值证券组合包括买 0.4085份股票，借债32.78元。 期权的价格 =0.4085x100—32.78 =8.07 元 卜面考虑一般模型 图4 一期二项式生成过程 这里 dcu u - d 1 rf S0 =股票现在的价格 q =股票价格上涨的概率 rf =一期的无风险利率 u =股票价格上涨的乘子（u》1+r f>1） d =股票价格下跌的乘子（0 <d <1 <1 ） 在每一期末，股票价格或者以概率 q涨为uS。，或者以概率1-q跌为dS。。关于股票价格上 涨和下跌乘子的确定，我们在下面讨论。注意对 d的假设，在这个假设之下，不管经过多 少期，股票的价格永远不会跌到零以下，即， lim d「=0 当 0 % <1 时 n—.• 但是，对股票价格上涨的界没有限制。 每期的无风险利率为 rf。对rf的限制为u》1+rf Ad ,这是无套利条件，也是保证在 套期保值过程中解的存在性的条件。直观地可以看出，无论是 1+rfAUAd （这时，无风险 利率总比股票的风险回报率高）还是 u〉dA1+rf （这时，无风险利率总比股票的风险回报 率低），都存在套利机会。不失一般性，我们假设 rf》0。 现在，考虑以股票为标的物的欧式看涨期权，执行价格为 K ,到期日为一期，它的现 价以c表示。该期权在到期日的支付如下图。那么，期权的公平价格为多少？ 图5欧式看涨期权的支付 为了解决这一问题，我们利用股票和无风险证券来合成构造期权：以价格 &元买m份股票（m称为套期保值比率），买 B元无风险证券。下图说明了这个套期保值证券组合 的到期支付。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都于期权的到期支付相 等，则满足要求。 图6套期保值证券组合的到期支付 让合成证券于期权支付相等，得到: muS0B(1 rf) = cumdS0B(1 rf) = cd 从上式中解出： m = cu - cd So(u-d) 把套期保值比率m c =mS0 B 和B代入得： ［化十 rf)-d、 u —d . Cd ，u—(1+rf) 一(1 rf ) 设 (1 rf) - d u 则 —d 1 u-(1 rf) —p u —d 从而得出期权的价格从而，我们得到: : 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/cc148748f31dc281e53a580216fc700abb6852b7.html