Fn的两个子空间的交的基及维数 设1,2,,r和1,2,,s是Fn中的两组线性无关的向量组。 i(a1i,a2i,,ani)，i1,2,,r； j(b1j,b2j,,bnj)，j1,2,,s。 V1L(1,2,,r)，V2L(1,2,,s)。WV1V2，以下定理给出求W的一个基的方法。 定理2 设齐次解线性方程组 x11xrry11yss0 （1） 的基础解系为：1,2,,t，i(ki1,kir,li1,,lis)，i1,2,,t。 令：iki11ki22kirr；ili11li22liss；i1,2,,t，则{1,2,,t}及{1,2,,t}都是W的一个基。 证明：由维数定理，dim(V1V2)=dim(V1)+dim(V2)dim(V1V2)。 由于(1)的系数矩阵的秩为dim(V1V2)，所以其基础解系所含向量的个数为trsdim(V1V2)=dim(V1V2)。 下面证明{1,2,,t}是V1V2的一组基。 设a11a22att0，则a11a22att0，所以 a1k11k21k22ak(1,2t)2=(1,2,,r)12akt1rk2rl11l21l12l22=(1,2,,s)l1sl2skt1a1kt2a2 ktratlt1a1lt2a2=0 ltsat因为向量组{1,2,,r}和{1,2,,s}均为线性无关的向量组，所以 k11k21k12k22k1rk2rkt1a1l11l21kt2a2l12l22=ktratl1sl2slt1a1lt2a2=0，即 ltsata11a22att=0，而1,2,,t为基础解系，得a1a2at0。即 {1,2,,t}是一组线性无关的向量，由线性方程组（4）的构造可知 {1,2,,t}V1V2。 从而{1,2,,t}是V1V2的一组基。同理，{1,2,,t}也是V1V2的一组基。 例2 设1(1,3,50)T，2(1,2,4,1)T，3(1,1,3,2)T； 1(1,1,3,2)T，2(1,3,1,1)T，3(1,2,0,0)T。 V1L(1,2,3), V2L(1,2,3), 求WV1V2的维数和一组基。 解：向量组{1,2,3}的极大无关组为{1,2}，{1,2,3}是线性无关的向量组，由定理2，解齐次线性方程组： x11x22x33y11y220 得基础解系为1(1,2,1,0,0)，2(1,1,0,1,1)，于是 WV1V2的维数是2。1122，212是W的一组基。11， 223也是W的一组基。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/d1cfa41bd4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd1b0.html