生活、生产中有关的一次函数
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生活、生产中有关的一次函数 运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明． 1 在日常生活中的应用 一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决． 例1 为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？ 解 (1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x． 当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4． 所以y与x之间的函数关系式为 3 (2)设月用水量未超过7 m共有x户． 因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元， 根据题意，得 (50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6． 解得x≈28. 67． 若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6． 所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户． 2 在市场经济中的应用 随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，存款与保险，股票与债券„„都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来． 例2 某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： (1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种 1 安排方案； (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值． 解 (1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有 6x＋5 y＋4（20－x－y）＝100． 整理，得y＝－2x＋20． (2)由(1)知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、－2x＋20、x，根据题意，得x4，解得4≤x≤8．因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方2x204案共有5种， 方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车； 方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车； 方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车； 方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车； 方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车． (3)设利润为W(百元)，根据题意，得 W＝6x×12＋5(－2x＋20)×16＋4x×10＝－48x＋1 600． 因为k＝－48<0，所以W的值随x的增大而减小，要使利润W最大，x取最小值4，故选方案一． W最大＝－48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14.08(万元)． 3 在工程问题中的应用 下面这道题看似平常却是别有新意的好题，本题突破了传统的工程问题的模式，将工程问题与一次函数图像相联系，进一步加强了传统经典习题与现实生活的联系，以利于同学们在新的时代背景中更好地学习和掌握数学知识． 例3 某县在实施“村村通”工程中，决定在P、Q两村之 间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从P、Q两村同时相向 开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由 甲队单独完成，直到道路修通．如图1是甲、乙两个工程队所修 道路的长度y(m)与修筑时间x（天）之间的函数图像，请根据图 像所提供的信息，求该公路的总长． 解 由乙图像可知，A(12，840)．设y乙＝kx(0≤x≤12)，因为840＝12k，所以k＝70．解得y乙＝70x． 当x＝8时，y乙＝560，所以C(8，560)． 设y甲＝mx＋n(4≤x≤16)，将4mn360B(4，360)、C(8， 560)代入，得，解得8mn560m50． n160 所以y甲＝50x＋160． 当x＝16时，y甲＝50×16＋160＝960． 由此可得乙修筑公路长840 m，甲修筑公路长960 m．故该公路全长为1800 m． 2 4 在行程问题中的应用 行程问题是一个常规的问题，而新课程下的行程问题，往往与图像、图形、表格等结合在一起，不仅考查了我们对知识的理解，而且考查了识图能力和数形结合的数学思想． 例4 甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程5 (km)与行驶时间t(h)之间的关系如图2所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)甲、乙两人的速度各是多少？ (2)写出甲、乙两人距A地的路程s与行驶时间t之间的 函数关系式（任写一个）． (3)在什么时间段内乙比甲离A地更近？ 解 (1)由图像知，甲2.5 h行驶50 km， 所以V甲＝50＝20(km/h)． 2.560＝30(km/h)． 2 乙2h行驶60 km，所以V乙＝ (2)s甲＝50－20t或s乙＝60－30t． (3)当1时，s乙的图像在s甲的图像的下面，说明在同一时刻，s乙甲，即乙离A地距离小于甲离A地距离，乙比甲离A地更近，
以上四例说明，一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛，内容十分丰富，上述题目联系实际和时代的热点，较为自然地考查了一次函数模型的实际问题，同时也考查了同学们利用函数思想和方程、不等式、最值等知识解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，善于运用数学去分析身边周围的现象，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题．
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