2022届高考数学解析几何大题中四种模型

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2022届高考数学解析几何大题中四种模型

一、定比分弦模型

焦点在x轴上的圆锥曲线C，过其焦点F的直线交曲线与A，B两点，直线AB的斜率角为θ，斜率为k，并且有 AFFB1. 若该曲线是椭圆，则离心率e满足 2. 若该曲线是双曲线：

| -1|| -1|

e1k2

|1||1|| 1|| 1|

e1k2②A,B在曲线两支，则离心率e满足 |ecos|

|1||1|

1

3.若该曲线是抛物线，则 满足|cos|(实际上就是抛物线的e1)

1

____

____

①A,B在曲线同一支，则离心率e满足 |e.cos|

如果焦点在y轴上，那么把 cos改成sin即可这里以椭圆为例给出简单证明：

证明：由圆锥曲线的极坐标方程可以得到：| AF| 

AF1ecos1

ecosBF1ecos1

epep

,|BF|

1-ecosθ1ecosθ

当然极坐标方程不能在大题中直接运用，那么可以用余弦定理作证明： AF2AF2aAF1F1F22AF1F1F2cosAF1F2，其中AF21二、焦点三角形离心率模型

已知 F1,F2是圆锥曲线的左右焦点，P是曲线上一点，若PF1F2,PF2F1

sin

sinsin

sine2. 若该曲线是双曲线，则离心率e满足

|sinsin|

2

2

2

2

1. 若该曲线是椭圆，则离心率e满足 e

该式子的证明在书本焦点三角形给出了证明，这里就不给出证明了。三、椭圆与双曲线共焦点模型：

椭圆与双曲线共焦点，并且椭圆离心率为e1 ,双曲线离心率为e2,他们交于P

F1PF2,则满足

1cos1cos

22

e12e2

点并且满足

证明：设椭圆长半轴与短半轴分别为 a 1 ,b 1 ，双曲线的实半轴与虚半轴分别为 a 2 , b 由焦点三角形： 2,

22

2(a12c2)2(c2a2)2b122b2

| PF1||PF2|,|PF1||PF2|

1cos1cos1cos1cos

11

1122

2(a12c2)2(c2a2)1cos1cose12e2

因此，222

1cos1cos1cos1cose1e2

四、双曲线焦渐比模型

这种模型是双曲线渐进线上的一点跟焦点连线已知比率求离心率问题。有以下两种模型：（1）如图，A是双曲线渐进线一点，AF1与另一条渐近线交于一点B，这种模型无论哪个角，都可以利用：

BOF1和AOB有公共边OB，以及AOB与AOF1的两倍互补去处理。1. 已知AF1AF2,F1BBA,则离心率e2.

_____

_____

证明：设BOF1，则AOB2，AF1OOAF1

B

2

A

π-2θ

BF1BOBOF中有：1 sinsin

2

ABBOAOB中有：

sin(2)sin

2

BF1sin11两式相除得到：e ABsin22cos2e2 __________

2.已知BF1OB,F1BBA,则离心率e22 证明：设BOF1，则AOB2BF1

BOF中有：BO1 tan

AB

AOB中有：BO

tan(-2)

θ

F1

O

F2

A

B

θ

π-θ

F1

2

F2

1

2

BF1tantan1cos2e22

ABtan(-2)222e22

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e8bc4ad907a1b0717fd5360cba1aa81144318f26.html

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