“失”与“增” 方程的失根与增根，是解方程过程中经常出现的错误，现分析几例，对方程产生失根或增根的原因加以说明，供借鉴。 例1 （1998辽宁省中考题）方程2x（x – 3）=5（x – 3）的根是（ ）. 555（A）x = （B）x = 3 （C）x 1 = x 2 = 3 （D）x = - 222错解：（A） 分析：本题的错误是丢失了一根，它是由方程两边同除以（x - 3）而引起的，因为（x - 3）可以是正数、负数、零。当x - 3 = 0时，也就是说方程两边同除以零，故产生了失根。 正确解法：移项后分解因式，得（x - 3）（2x – 5）= 0 ， 5 解之，得 x 1 = x 2 = 3 2故应选：（C） . 例2 （2002威海市中考题 ）解方程 错解：方程两边同乘以 x（x – 2），得 - x – 3（x 2 – 2x）= x – 4 ， 整理后，得 3x 2 – 4x – 4 = 0 ， 2 解之，得 x 1 = - x 2 = 2 . 3分析：本题的错误是增加了一根，它是由方程两边同乘以 x（x – 2）而引起的，因为上述分式方程中未知数 x 的取值范围是 x≠0且x≠2，而化为整式方程后 x 的取值范围是全体实数，未知数的取值范围扩大，故产生增根。正确的解法是在上述解的步骤基础上，增加检验一步，舍去增根 x = 2 。 正确解法：（略） 例3 （2002温州市中考题）解方程组： 错解：由②两边同乘（x +1），得 y = x +1 ③， 1 - 3 = 2 - x 由③代入①，得 x+x+1 = x – 1 ， 两边平方后，整理得 x 2 – 4x = 0 ， 解得 x 1 = 0 x 2 = 4 ， 把x 1 = 0 ，x 2 = 4分别代入③，得 y 1 = 1 y 2 = 5 ， ∴原方程组的解是 分析：本题求解过程中，未知数的取值范围两次扩大，一次是分式方程化为整式方程，另一次是根式方程化为整式方程，有可能产生增根，因此，必须进行检验。经检验， 是增根，原方程组的解是 综上所述，产生增根的原因是由于未知数取值范围的扩大而引起的，因此，无论是分式方程还是根式方程，必须进行检验。产生失根的主要原因是方程两边所除的代数式可能等于零。因此，方程两边不要轻易的除以含有未知数的代数式。只有当所除的代数式不等于零时，才不会失根。当然，有时概念理解模糊，也会产生失根。 例4 解方程组： 错解：用（x +y）乘方程①的两边，得 （x＋y）（x－y）＋（x＋y）将分母有理化,并整理得 （x2–y2） + - 20 = 0 ， ＝20 . x 2 – y 2 = 16 ③ 解②、③，得四组解： 经检验，后两组不适合，是增解，舍去。程组的解为： 因此原方 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/fc481ac0fbc75fbfc77da26925c52cc58bd690d2.html