2017年山西高考数学试卷:2017年山西高考数学增分分项练习（七）

1.椭圆+=1的两个焦点分别为点F1、F2，点P是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则△PF1F2的周长为(　　)

A.6B.8

C.10D.12

答案　C

解析　由+=1知a=3，b=，c==2，所以△PF1F2周长为2a+2c=6+4=10，故选C.

2.已知圆x2+y2+mx-=0与抛物线x2=4y的准线相切，则实数m等于(　　)

A.±2B.±

C.D.

答案　B

解析　因为圆x2+y2+mx-=0，即(x+)2+y2=与抛物线x2=4y的准线相切，所以=1，

m=±，故选B.

3.点F1，F2分别是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　)

A.B.2

C.D.3

答案　C

解析　∵△ABF2是等边三角形，∴|BF2|=|AB|，

根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，

∴|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，

又∵|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a.

∵在△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，

∠F1AF2=120°，

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|·cos120°，

即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-)=28a2，

解得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==.

4.如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)向准线l作垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=xB.y2=x

C.y2=2xD.y2=4x

答案　D

解析　设抛物线方程为y2=2px，则F(，0)，将A(3，y)代入抛物线方程得y2=6p，y=，由于△ABF为等边三角形，故kAF=，即=，解得p=2.
5.过双曲线x2-=1右支上一点P，分别向圆C1：(x+4)2+y2=4和圆C2：(x-4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为(　　)

A.10B.13

C.16D.19

答案　B

解析　|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3

=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3

=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13，

故选B.

6.双曲线C：-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A，B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为(　　)

A.B.1+

C.2D.2+

答案　B

解析　由题意，得xA=xB==c，

|yA|==p=2c，

因此-=1=b2=2acc2-a2=2ac

e2-2e-1=0e=1+(负值舍去)，故选B.

7.已知a>b>0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为-=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)

A.x±y=0B.x±y=0

C.2x±y=0D.x±2y=0

答案　B

解析　a>b>0，椭圆C1的方程为+=1，离心率为;双曲线C2的方程为-=1，离心率为.

∵C1与C2的离心率之积为，

∴·=，

∴()2=，=，

C2的渐近线方程为：y=±x，

即x±y=0.故选B.

8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知点F1、F2是一对相关曲线的焦点，点P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是(　　)

A.7-4B.2-

C.-1D.4-2

答案　B

解析　由题意设椭圆方程为+=1，

双曲线方程为-=1，且c=c1.

由题意·=1，(*)

又∠F1PF2=30°，由余弦定理得：

在椭圆中，4c2=4a2-(2+)|PF1||PF2|，

在双曲线中，4c2=4a+(2-)|PF1||PF2|，

可得b=(7-4)b2，代入(*)得

c4=aa2=(c2-b)a2=(8-4)c2a2-(7-4)a4，

即e4-(8-4)e2+(7-4)=0，

得e2=7-4，即e=2-，故选B.

9.在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x2-2y2=1的右支上的一个动点，若点P到直线x-2y+2=0的距离大于m恒成立，则实数m的值为(　　)

A.2B.

C. D.

答案　C

解析　设点P(x，y)，由题意得[]min>m，而直线x-2y+2=0与渐近线x-2y=0的距离为=，因此[]min>，即m≤，实数m的值为，故选C.

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