化复数的其他形式为三角形式的方法广州七中 陈启华 一、思考过程 复数的三角形式是指z＝r(cosisin)这个形式，必须同时满足4个条件：1.模r≥0； 2.三角函数是同角的余弦和正弦，虚数单位与正弦相乘； 3. 余弦和正弦的系数都是+1； 4.辐角θ可正可负，但辐角的主值必须满足0≤θ≤２π。由于运用复数的三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算特别简便，又与三角函数、极坐标知识联系紧密，而且复数化为三角形式后，可以直接得到模与辐角，因此，常常要把不具备上述条件的复数化为三角形式。复数的其他形式主要有如下几种：点的形式P（a，b）；向量形式p1p2；整体形式z；代数形式a＋bi；极坐标形式（r, θ）等。对于点P（a，b）给出的复数，先写出其代数形式a＋bi，再把代数形式化为三角形式；对于向量形式p1p2，先求出其代数形式z＝ｚ２－ｚ１，再把代数形式化为三角形式；对于整体形式z给出的复数，可以直接设z＝r(cosisin)。由此可见化复数的其他形式为三角形式的的关键是要熟练掌握将代数形式化为三角形式的方法。 二、步骤格式 1. 化复数的其他形式为代数形式a＋bi；2. 用公式r＝a2b2求模ｒ; 3. 由θ的终边经过点（a，b）求辐角θ。 三、典型例题 例1 化－７－６ｉ为三角形式 解：模ｒ＝(7)2(6)285，又由辐角θ的终边经过点（－７，－６）可知，θ在第三象限，因为ton66，所以可取θ＝π＋arcton ，故－７－６ｉ的三角形式为８５ ［cos(π＋7766arcton )+isin(π＋arcton )］ 77例2 化１＋cosisin为三角形式 （0≤θ≤２π） 解：模ｒ＝(1cos)2(sin)222cos22ton222cos2，由辐角α的终边经过点sinθ ＝1+cosθ（１＋cosθ，sinθ）且１＋cosθ≥0可知，辐角α在一、四象限或y轴上。∵tonα＝θθππθθton ∴(1)当0≤θ≤π时，0≤ ≤ ，即0≤α≤ ，2|cos |＝2cos 222222θθθ１＋cosisin三角形式为2cos （cos ＋isin ）； 222ππ(2) θ＝π时，１＋cosisin＝０，得三角形式为０（cos ＋isin ）； 22(3) 当π≤θ≤2π时，πsinθθθθ ≤α≤π∵tonα＝ ＝ton ，可取α＝ -π，又2|cos |＝-21+cosθ222θθθθ2cos ，∴１＋cosisin三角形式为-2cos ［cos（ －π）＋isin（ －π）］； 2222综上所述１＋cosisin三角形式为： 2coscosisin0222 2coscos2isin222例3 化下列复数为三角形式： ππππππ（1）2（sin +icos ）； （2）－２（－sin ＋icos ）； （3）－２（sin －icos ） 555555ππππ3π3π解：（1）原式＝２[cos（ － ）＋ｉsin （ － ）]＝2（cos ＋isin ）； ２5２51010（2）原式＝２（sinisin１７π ） 10ππ３ππ３ππ１７π －icos ）＝2[cos( ＋ )+isin( ＋ )]＝２（cos ＋55２５２５10ππππππ７π７π（3）原式＝２（－sin ＋icos ）＝2[cos( ＋ )+isin( ＋ )]＝２（cos ＋isin ） 55２５２５10106四、注意事项 １．三角形式是满足四个条件的一种“形式”，所以８５ ［cos(π＋arcton )+isin(π76＋arcton )］不能用诱导公式再去化简，一旦用诱导公式再去化简，这个复数的形式就不是三角形式7了。 θ２．看三角形式是否满足四个条件要看本质，如r＝－２cos ＞0，不要误以为有“-”号就是负数。 2五、其他方法 已知复数具有r(cosθ＋isinθ)或r(sinθ＋icosθ)的形式，但不符合全部条件时，化为三角形式的方法，可以用以下口诀：（1）“变模内外乘－１”；（2）“变名必然要用奇”（3）“正四二应牢记”，如例３的（２）、（３）。 六、梯度训练 1. 3 －i的模和辐角分别是 ； z23z62. 已知z＝１＋ｉ，求的模和辐角的主值； z1３．已知z＝１＋ｉ，z3z4，求ω的三角形式； ４．设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈（π，２π），求复数ｚ＋ｚ的模和辐角； ５．化１－cosθ＋isinθ为三角形式（0≤θ＜２π）； π６．化１＋sinθ＋icosθ为三角形式（ ＜θ＜π）； ２π3π７．化１＋itonθ为三角形式（ ＜θ＜ ）； ２２ ８．化 cos i cos 3 sin2 为三角形式 6 ９．已知0＜θ＜π，z1＝１＋cosθ＋isinθ，z2＝１－cosθ＋isinθ 22 求：argz1＋argz2以及∣z1∣＋∣z2∣ 10.化z2２1cosisinπ为三角形式（0＜θ＜ ）； ２1cosisin 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/12175e396f175f0e7cd184254b35eefdc8d31592.html