余弦定理的证明方法大全共十法

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余弦定理的证明方法大全(共十法)

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有

a2b2c22bccosA, b2c2a22cacosB, c2a2b22abcosC.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA. 证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:

C

即,a2b2c22bccosA.

证法二:本方法要注意对A进行讨论. (1)

当

A是直角时,由

A

图1

B

b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结

论成立.

(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则

在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.

从而,BDABADcbcosA.

在RtBCD中,由勾股定理可得: 即,a2b2c22bccosA.

说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.

(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则

在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA.

1页

A

D

图2-1

B

C

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从而,BDABADcbcosA.

在RtBCD中,由勾股定理可得:

C

即,a2b2c22bccosA.

综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立.

D

A

图2-2

B

证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则

BDAD

在RtABD中,sin,cos.

ccCDAD

在RtACD中,sin,cos.

bb

C

D

βαA

图3

B

由cosAcos()coscossinsin可得: 整理可得abc2bccosA. 证法四:在ABC中,由正弦定理可得

2

2

2

abcc

. sinAsinBsinCsin(AB)

从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①

csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB. …………………………②

将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA. 即,a2b2c22bccosA.

证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2.

即,a2b2c22bccosA.

A(O)

图4

B

x

y

C

证法六:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC. 于是,a24R2sin2A4R2sin2(BC) 即,结论成立.

证法七:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC. 于是,a2b2c22bccosA

2页

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/141006ed9b8fcc22bcd126fff705cc1755275f68.html

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