余弦定理的八种证明方法 1. 平面解析几何证明： 设平面内三角形ABC，其中$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{a}$，$\\overrightarrow{BC}=\\mathbf{b}$，$\\overrightarrow{CA}=\\mathbf{c}$，则有以下关系： $$\\begin{cases}\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\cdot (\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\\\ \\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\cdot (\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\\\ \\|\\mathbf{c}\\|^2=\\mathbf{c}\\cdot \\mathbf{c}\\end{cases}$$ 将这三个式子展开并简化运算，再利用向量的数量积展开，得到余弦定理的表达式。 2. 向量证明： 设向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$的夹角为$\\theta$，则有向量$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}$的模长为$\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|=\\sqrt{\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta}$，再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。 3. 平面三角形面积证明： 设平面内三角形ABC，其三边长度分别为$a$，$b$，$c$，其对应的高分别为$h_a$，$h_b$，$h_c$，则有以下关系： $$\\begin{cases}S=\\frac{1}{2}bh_a\\\\ S=\\frac{a\\sin C}{2}=\\frac{b\\sin A}{2}=\\frac{c\\sin B}{2}\\end{cases}$$ 将这两个式子联立并消去$S$，再利用正弦定理展开，得到余弦定理的表达式。 4. 空间向量法证明： 设在空间中有两个非零向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$，其夹角为$\\theta$，则有以下关系： $$\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta$$ 再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。 5. 三角函数证明： 设在平面内有三角形ABC，其角A对边长为a，角B对边长为b，角C对边长为c，其内角分别为A，B，C，该三角形的面积为S，则有以下关系： $$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C=\\frac{1}{2}ac\\sin B=\\frac{1}{2}bc\\sin A$$ 再利用正弦函数展开，得到余弦定理的表达式。 6. 合成力法证明： 设在平面内有三边长为a，b，c的三角形ABC，其内角分别为A，B，C，则有以下关系： $$c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$$ 再利用正弦定理展开，得到余弦定理的表达式。 7. 向量平行四边形法证明： 设有向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$，则有以下关系： $$\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2+\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=2\\|\\mathbf{a}\\|^2+2\\|\\mathbf{b}\\|^2$$ 再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。 8. 解析几何证明： 设在平面内有三边长为a，b，c的三角形ABC，其内角分别为A，B，C，设顶点A在原点$(0,0)$，顶点B在坐标轴上，点C$(x,y)$，则有以下关系： $$c^2=x^2+y^2$$ 解析求解得$(x,y)=\\left(\\frac{a^2-c^2+b^2}{2b},\\pm\\sqrt{a^2-\\left(\\frac{a^2-c^2+b^2}{2b}\\right)^2}\\right)$，再利用两点间距离公式得到余弦定理的表达式。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/28d8ce3d306c1eb91a37f111f18583d048640f7b.html