画线段图的技巧 在阅读了贵刊1996年第4期李东亚老师写的《解应用题画线段图技巧》与1996年第10期李宗社老师写的《图 解法解题举例》两文后，收益匪浅，颇有启发。文中多数例题都画出了较好的线段图，传授了画线段图的方法 和技巧，值得读者借鉴。今天笔者除对文中两例线段图（或几何图形）提出改进外，再举几例谈一谈画线段图 技巧，便于互相研究、互相学习，共同提高。 《解应用题画线段图技巧》一文中的例5(P[,16])： 有重量相等的两筐苹果，第一筐卖掉1/4，第二筐卖掉40%后，再从第一筐拿出7.5千克苹果放入第二筐，这 时两筐苹果的重量相等，求原来一筐苹果的重量。 文中画出如下单线分段图： （附图 {图}） 图中量(7.5×2)千克与率〔(1－1/4)－(1－40%)〕对应不明显，算式7.5×2÷〔(1－1/4)－(1－40%)〕也 令人费解。 笔者认为，画线段图应首先确定画单线分段图还是复线并列图？一般原则是，如果题中的几个量是整体与 部分关系时，要画单线分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。其次，画出的线段图量率对应要 明显。本题给出的条件是两筐苹果，显然是并列关系，应画双线并列图： （附图 {图}） 这样的线段图，量(7.5×2)千克与率(40%－1/4)对应比较明显，因此，容易列出算式并解答： 7.5×2÷(40%－1/4)＝15÷3/20＝100（千克） 《图解法解题举例》一文中的例2(P[,20])： 高中学生是初中学生的5/6，高中毕业学生是初中毕业学生的12/17，高中和初中毕业后，都留下520人，问 高中和初中一共毕业多少人？ 文中设计如下图形：根据图形分析，文中谈到“矩形ABCD的面积表示的人数恰好等于520人的1/6”。而52 0×1/6＝86(2/3)（人），人数不是整数，因此，这样的解答过程脱离实际，不宜采用。 （附图 {图}） 根据题意应该画出如下线段图： （附图 {图}） 分析 高中毕业学生是初中毕业学生的12/17，显然初中学生总人数的1/6等于初中毕业人数的(1－12/17＝ )5/17，由此可求出初中学生总人数是初中毕业人数的(5/17÷1/6＝)30/17（倍）。进而可求出520人的对应分 率是30/17－1＝13/17（这里仍是把初中毕业人数看做单位1），则初中毕业人数为(520÷13/17＝)680（人）。 有了初中毕业人数就不难求出高中毕业人数和初高中毕业总人数。 其综合算式是： 520÷〔(1－12/17)÷(1－5/6)－1〕×(1＋12/17) ＝520÷〔5/17÷1/6－1〕×29/17 ＝520÷13/17×29/17＝520×17/13×29/17＝1160（人） 下面再举几例谈谈画线段图技巧： 1.对称点拨法 例1 甲、乙两汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过3小时，两车在距中点18公里处相遇。这时甲车与 乙车所行路程比是2:3求甲、乙两车每小时的路程。 画线段图如下： （附图 {图}） 〔分析与解答〕 在线段图中，由于点拨了对称点（简称对称点拨法），学生就不难看出，从相遇点到它 的关于中点的对称点的距离是(18×2)公里，这个距离恰好表示一份，正好是乙车1小时所行的路程。因此，乙 车速度是(18×2＝)36（公里），那么甲车速度是(36×2/3＝)24（公里）。 2.倍分关联法 例2 （托尔斯泰问题）一组割草人要把两片草地的草割完，大的一片草地是小片的两倍。上半天人们都在 大的一片草地上割草，午后人们对半分开、一半人仍留在大片草地上，到傍晚时把草割完，另一半人到小片草 地上割草，到傍晚时还剩下一小块。这一小块由一人用一整天刚能割完，问这组割草人有几个？ 画线段图如下：设大片草地面积为1，由题意知，上午割去大片草地的2/3，下午在大、小草地上均割去（ 大片草地的）1/3，按照这个倍数关系，可以把两片草地割与剩关联起来（简称倍分关联法），由此画出如下线 段图： （附图 {图}） 〔分析与解答〕：由图知，小片草地剩下的一块面积为(1/2－1/3＝)1/6，即一人一天能割的草是大草地的 1/6。这组人一天能割大草地面积的(1＋1/3＝)4/3，由此可求出这组人数。其综合算式是： (1＋1/3)÷(1/2－1/3)＝4/3÷1/6＝8（人） 3.逆向对接法 例3 某校有学生若干人，男生比全校学生总数的1/3多200人，女生比全校学生总数的3/4少285人，求全校 学生人数。 画线段图如下：把学生总数看做1，用线段AB表示。以A为起点，先画出AD＝1/3AB，再延长D至C，使DC表示 200人。若以C为起点，继续沿CB方向画不出3/4AB线段，因此，改为以B为起点，先画BE＝3/4AB，那么EC表示2 85人，这时表示男、女人数的线段正好对接，简称逆向对接法。 （附图 {图}） 〔分析与解答〕 由图知，ED表示(285－200)人，对应的分率是(1/3＋3/4－1)或3/4－(1－1/3)或1/3－( 1－3/4)。由此可求出全校总人数： (285－200)÷(1/3＋3/4－1) ＝85÷1/12＝1020（人） 4.集中会聚法。 例4 某校办工厂加工一批零件，第一天做的比总数的2/9多10个，第二天做的比总数的1/3少5个，第三天 做剩下的51个，求这批零件的总个数。 画线段图如下： （附图 {图}） 把零件总个数看做1，依题意包含三条分线段。为了量率明显对应，使各个分量集中、会聚在一起，我们把 表示第二天的分线段放在第三天分线段之后，简称集中会聚法。 〔分析与解答〕 由图知，分率(1－2/9－1/3)对应的量是(51－5＋10)个零件，由此可求出零件的总个数 ： (51－5＋10)÷(1－2/9－1/3) ＝56÷4/9＝126（个） 5.分层对应法 例5 小明与小亮同住一幢楼，他们同时出发骑车看望赵老师，又同时到达赵老师家。但途中小明休息的时 间是小亮骑车时间的1/3，而小亮休息时间是小明骑车时间的1/4，求小明和小亮骑车速度之比？ 画线段图如下：设小明休息时间为x，小亮休息时间为y，根据小明和小亮骑车与休息时间分层对应关系， 画出线段图，简称分层对应法。 （附图 {图}） 〔分析与解答〕 由图知，2x＝3y，则x/y＝3/2，因路程一定，时间和速度成反比，则 小明骑车速度 小亮骑车时间 ──────＝──────＝3x/4y＝3/4×3/2＝9/8 小亮骑车速度 小明骑车时间 综上所述，线段图只要设计的巧妙，可以将抽象思维，转化为形象思维，使难以解答的应用题，绕过思考 障碍，获得简便易行的解题方法。
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