一:有关周期性的讨论 在已知条件faxfbx或 fxafxb中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab，说明f(x)的图像具有对称性，其对称轴为xab。 2(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab，说明 f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。 设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1)f(xa)f(xa) T2a (1)f(ax)f(ax) xa ab 2ab(3)f(xa)f(x) T2a (3) f(ax)f(bx) x 2(2)f(x)f(xa) Ta (2)f(ax)f(bx) x(4)f(xa)1ab T2a (4) f(ax)f(bx) 点(,0)中心 f(x)21 T2a (5) f(ax)f(ax) 点(a,0)为对称中心 f(x)(5)f(xa)(6)f(xa)f(x)1 T2a f(x)11f(x) T2a 1f(x)1f(x) T4a 1f(x)(7) f(xa)(8) f(xa)(9) f(xa)1f(x) T4a 1f(x)(10) f(x)f(xa)f(xa), a0 T6a (11) 若函数f(x)同时关于直线xa, xb对称则函数f(x)的周期T2ba (12) 若函数f(x)同时关于点(a,0), (b,0)对称,则函数f(x)的周期T2ba (13) 若函数f(x)同时关于直线xa 对称,又关于点(b,0)对称(b0)则函数f(x)的周期T4ba (14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2a (15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4a (16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(T)=0. ⒈ 若yf(2x)的图象关于 2两类易混淆的函数问题：对称性与周期性 例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？ 例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+5）= f（x－5），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？ 定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f(ax)f(ax)，那么y= f（x）的图像关于直线xa对称。 易知，点Q的坐标为2ax0，y0。 00因为点Px，y在y= f（x）的图像上，所以f(x0)y0 所以点Q2ax0，y0也在y= f（x）的图像上。 由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。 证明：设点Px0，y0是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，于是f2ax0faax0faax0fx0y0 定理2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线xab的对称。 2定理3：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。 证明：令xax'，则xx'a，xax'2a 代入已知条件fxafxa 得：fx'2afx' 根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。 定理4：如果函数y= f（x）（x∈R）满足fxafxb，那么y= f（x）是以ab为周期的周期函数。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/bc4535abdf88d0d233d4b14e852458fb770b38bc.html