反证法逻辑原理 孙贤忠
说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。
反证法逻辑原理 即证“完备性前提下的原命题的逆否命题” 作者:孙贤忠(湖南省长沙市第七中学 邮编:410003) 【摘要】:阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类,探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若A则B为真,这只是简洁的形式,因为若A则B为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推出结论B为真。 【关键词】:反证法 证明 矛盾 逆否命题 一 反证法出现 反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说明假设不成立,原命题得证。 反证法常称作Reductio ad absurdum,是拉丁语中的“转化为不可能”,源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”,阿基米德经常使用它。 二 反证法所依据的逻辑思维规律 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。 反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。 1 反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓"正难则反"。 三 反证法所依据的逻辑基础 牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目,问题可能解决得十分干脆。 反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始,得出矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是: 欲证“若P则Q”为真命题,从相反结论出发,得出矛盾,从而原命题为真命题。 反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论,为什么?这个结论可以用穷举法证明: 某命题:若A则B,则此命题有4种情况: 1.当A为真,B为真,则A→B为真,﹁B→﹁A为真; 2.当A为真,B为假,则A→B为假,﹁B→﹁A为假; 3.当A为假,B为真,则A→B为真,﹁B→﹁A为真; 4.当A为假,B为假,则A→B为真,﹁B→﹁A为真; ∴一个命题与其逆否命题同真假 与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A 假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的. 但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾. 这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若A则B为真,这只是简洁的形式,因为若A则B为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推出结论B为真。 这样就有命题:若A则B为真,应该完备成命题:若A且C(定义)且D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及且……则B。于是逆否命题就是:若﹁B,则﹁A或﹁C(定义)或﹁D(定理)或﹁E(正确的逻辑推理)或﹁F(客观事实)以及或﹁……,逆否命题至少有一个,证出一个就可以了。 在数学的证明中,经常运用反证法。在命题逻辑推理中,反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。 设A1,A2,…,Am是命题公式, 如果A1 A2…Am是可满足的, 称A1,A2,…,Am是相容的。 如果A1A2…Am是矛盾式, 2 称A1,A2,…,Am是不相容的。 如果要证A1 A2…Am C 只需证明A1 A2…Am C是重言式。 而A1A2…Am C (A1A2…Am)C (A1A2…Am C) 由此可知A1A2…Am C为重言式, 当且仅当A1A2…Am C是矛盾式。 从而得到如A1,A2,…,Am,C不相容(即C(A1A2…Am)这就是A1 A2…Am C的逆否命题得证 ),则C是A1,A2,…,Am的有效结论。 因此我们可以把C作为附加前提推出矛盾来,从而可以得到C是A1,A2,…,Am的有效结论。这种方法称为反证法,也是反证法的逻辑基础。 例如:﹁B→﹁A为真,就是﹁B且 A且C(定义)且D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及……→﹁A且C(定义)且D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形,所以若A则B为真(即原命题为真), 当然也可以是另外的情形,如:﹁B且 A且C(定义)且D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及……则A且C(定义)且﹁D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及……,这就是推出与定理矛盾的情形,所以若A则B为真(即原命题为真)等等。 四 反证法步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立。(若﹁B为真) (2)从这个命题出发,经过推理证明得出矛盾。(即推出﹁A或﹁C(定义)﹁D(定理)或﹁E(正确的逻辑推理)或﹁F(客观事实)以及或﹁……为真) (3)由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论正确。(即A→B为真) 五 反证法在简易逻辑中适用题型: (1)唯一性命题 (2)否定性题 (3)“至多”,“至少”型命题 ⒈基本命题,即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少,或由题设条件所能推得的结论很少,因而直接证明入手较难,此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等,在按照公理 3 化方法来建立起它的科学体系时,最初只是提出少量的定义、公理。因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,它们多数宜于用反证法来证明。 例1 求证 两条直线如果有公共点,最多只有一个。 证明:假设它们有两个公共点A,B,这两点直分别是a,b 那么A,B都属于a,A,B也都属于b, 因为两点决定一条直线, 所以a,b重合(这否定了两条直线这个条件)所以命题不成立, 原命题正确,公共点最多只有一个。 ⒉否定式命题,即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体,适于应用反证法。 例2 AB、CD为圆两条相交弦,且不全为直径, 求证:AB、CD不能互相平分。 证明:假设弦AB、CD被P点平分, 由于P点一定不是圆心,连接OP, 则有OPAB,OPCD, 即过一点P有两条直线与OP垂直, 这与垂线性质矛盾(这否定了垂线性质定理),所以弦AB、CD不能被P平分。 例3 证明函数y = cosx不是周期函数。 证明:假设函数 y=cosx是周期函数,即存在 T0,使cosxT= cosx 令 x=0,得 T=4kπ 令x=4π222 (k0, kZ, 不妨设 k>0)。 ,得 424k22= 2m (mN) 1k2=mN 4 但是当k>0时, k<1k2,因而1k2不是整数(这否
定了相邻两个整数之间没整数的事实),矛盾 故 函数y = cosx不是周期函数。 例4 求证:形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。
证明:假设p是4n+3型的整数,且p能化成两个整数的平方和,即
p=a2+b2,
则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1,b=2t,其中s、t为整数,
p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1,这与p是4n+3型的整数矛盾
(这否定了条件p是4n+3型的整数)。
例5证明:△ABC内不存在这样的点P,使得过P点的任意一条直线把△
ABC
的面积分成相等的两部分。
证明:假设在△ABC内存在一点P,使得过P 点的任一条直线把△ABC的面积分成
相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。
由假设,S△ABD=S△ADC,于是D为
BC
的中点,同 理E、F分别是AC、AB的 中点,从而P是△ABC的重心。
过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N,则 ,
这与假设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分矛
盾。(这否定了题设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分)
⒊限定式命题,即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。 例6 已知函数f(x)是单调函数,则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证:假设方程至少有两个根x1,x2且x1x2, 则有 f(x1)=f(x2) (x1x2)
这与函数单调的定义显然矛盾(这否定了函数单调的定义),故命题成
立。
例7 平面上有六个圆,每个圆圆心都在其余各圆外部,则平面上任一点不会同
时在这六个圆上。
5
证:题意即这六个圆没有共同的交点。
如果这六个圆至少有一个共同的交点,则连接这交点与每个圆的圆心的
线段
中,总有两条线段所成的角不超过60°。
这时,这两条线段所连接的圆如果半径相等,那么两圆圆心在对方圆内; 否则,较小的圆圆心在较大的圆之内,这都与已知矛盾。(这否定了已
知条件)
例8 若p>0,q>0,p3+q3=2。试用反证法证明:p+q≤2。
证明:此题直接由条件推证p+q≤2是较困难的,由此用反证法证之。 假设p+q>2,∵p>0,q>0, ∴(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8
又∵p3+q3=2。代入上式得:3pq(p+q)>6。即pq(p+q)>2
①
又由p3+q3=2得(p+q)(p2-pq+q2)=2
②
由①②得pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2) ∵p+q>0。
∴pq>p2-pq+q2p2-2pq+q2<0(p-q)2<0与(p-q)2
≥0相矛盾。(这否定了实数的平方非负的运算律)) ∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2。
⒋唯一性命题,即结果指定唯一的命题。
例9 已知a0,证明x的方程axb有且只有一个根。 证明:由于a0,因此方程至少有一个根x
b
a
如果方程不只一个根,不妨设x1,x2是它的两个不同的根 即ax1b ax2b两式相减,得:a(x1x2)=0
因为x1x2,所以x1x20,所以应有a0,这与已知矛盾(这
否定了已知条件),
故假设错误。所以,当a0时,方程axb有且只有一个根。 例10 求证:方程x = sinx的解是唯一的。
证明:显然,x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解α、β(α≠β),则有sin= ,sin=
6
两式相减得: sin-sin=- ∴ 2cos ∵ |sin
2
sin
=-
2|
22||
∴ |cos|·||>
222
得 |cos|>1(这否定了余弦函数值域【-1,1】的性质),
2
显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。 例11 求证方程 2x+x=6 仅有唯一实根 2。
证明:假设方程 2X+x=6 有一个非 2 的实根a 。
则有 2a+ a =6 ,与 22+2=6 相减,得 2a -22=2- a 。 ∵a≠ 2 ,故a> 2 或a< 2。
当a> 2 时, 2a -22 > 0 ,而 2- a< 0 ,相矛盾 。
当a< 2 时, 2a -22 < 0 ,而 2- a> 0 ,也矛盾 。(这否定了逻
辑推理的正确性)
∴假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 ∴不存在非 2 的实根α,即方程仅有唯一实根 2。 六 结束语
反证法证明问题均是两面性的问题,即一个问题只有正反两个方面的结论,若否定了其中一个方面,就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明,而是首先假设问题的反面,然后根据假设进行推理、论证,从而得到与事实或条件不相符合的结论,实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”,从而证明原命题的正确性 !
参考文献:
[1] 全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)《数学》.
[2] 蔡上鹤:《高中数学新教材第一章教学问答(二)》,《中学数学教学参考》2000年第8期.
[3] 严镇军 陈吉范:《从反面考虑问题》,中国科学技术大学出版社. [4] 张炳轩:《离散数学》之第九章数理逻辑。
2013年10月28日星期一
|<|
7
本文来源:https://www.wddqw.com/doc/329d7a42aa8271fe910ef12d2af90242a895ab93.html