证明与反证法(2)
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沈老师教学资料 2019年最新WORD精品文档 等腰三角形的判定及反证法 一、学习目标 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 重点：反证法证题的步骤. 难点：理解反证法的推理依据及方法. 掌握反证法证题的步骤共分三步： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。 二、探究 例题2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角。 0 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60 课本上这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例1 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设，∠B ＝ ∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立． ∴∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤： 假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 ∴a//b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 三、练习 1、 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 2.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，日期：2020年1月7日 沈老师教学资料 2019年最新WORD精品文档 教师引导） 已知： ； 求证: ； 证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。 ∴ 。 3.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角 证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°， 而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾． ②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°， 而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾． 综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角． 故等腰三角形两底角必为锐角． “反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会： 1.分清所证命题的条件和结论 如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角 ” 其中条件是“一个三角形”结论是“不能有两个角是直角” 熟记步骤 第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设 ” 第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知 发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角. 第三步：推翻假设，证明原命题成立。 2.抓住重点，突破难点 反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。 如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种情况：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。 注重规范 在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。 反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。 日期：2020年1月7日 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c48160341b2e453610661ed9ad51f01dc28157ed.html