课后素养落实(三十六) 极大值与极小值 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设函数f(x)的定义域为R，f(x)在x0(x0≠0)处取得极大值，以下结论一定正确的是( ) A．－f(－x)在－x0处取得的极小值 B．对任意x∈R，f(x)≤f(x0) C．f(－x)在－x0处取得的极小值 D．－f(x)在x0处取得的极大值 A [对于A，函数－f(－x)与函数f(x)的图象关于原点对称，因此－f(－x)在－x0处取得的极小值；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f(x0)是否最大；对于C，函数f(－x)与函数f(x)的图象关于y轴对称，因此f(－x)在－x0处取得的极大值；对于D，函数f(x)与函数－f(x)的图象关于x轴对称，因此－f(x)在x0处取得的极小值，故D错误．] 2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) C．(0，1) B．(0，＋∞) D．(－1，0) D [∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1， ∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符； 若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减， 从而在x＝a处取得极大值，符合题意； 若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．] 3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( ) 1A．f2是极大值 B．f(－2)是极大值 C．f(2)的极大值 4D．f5是极小值 111A [对于A选项，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜2时，f′(x)＜0，f2是极大值，A22选项正确； 1对于B选项，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，f(－2)是极小值，B选项2错误； 1对于C选项，当＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时， 2f′(x)＞0，f(2)是极小值，C选项错误； 44不是极小值，对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f′＜0，fD选项错误．故55选A．] 4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A．y＝x3＋6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x B．y＝x3－6x2＋9x D．y＝x3＋6x2－9x B [∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx， ∴y′＝3x2＋2bx＋c． 又x＝1，3是y′＝0的两个根， 1＋3＝－3，∴c1×3＝3，2b b＝－6，即 c＝9， ∴y＝x3－6x2＋9x， 又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， ∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ， 当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B．] 5．已知a为常数，函数f(x)＝xln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为( ) e0， A．2eC．2，e B．(0，e) e2D．2，e A [f′(x)＝ln x＋2－2ax，函数f(x)有两个极值， 则f′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象1相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝， xy＝2ax－2，则有1x＝2a，000y0＝ln x0， x＝1，e解得ea＝2，0y0＝－1， 要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即e0＜a＜．故选A．] 2二、填空题 116．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________． 321，＋∞ [∵f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)无极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的41实数解，从而Δ＝1－4c≤0，∴c≥．] 47．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，f(1)是函数f(x)的________值． 0 极大 [由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0， ∴f′(1)＝0，f(1)是函数f(x)的极大值．] 8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________． 4 [求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．① 又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行， 所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，② 联立①②可得a＝－1，b＝0， 所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2， ∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f(0)＝0＋c，极小值为f(2)＝－4＋c， 故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4．] 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求y＝f(x)在区间(－1，4)上的极值． [解] (1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/357137fd92c69ec3d5bbfd0a79563c1ec4dad794.html