角平分线与面积的关系

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角平分线与面积的关系

一、角平分线的定义和性质

角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的直线，也就是将一个角的两边平分的直线。角平分线有以下性质：

1. 角平分线将一个角分成两个大小相等的角。

2. 角平分线上的点到该角两边距离相等。

3. 角平分线上的点到该角顶点距离最短。

4. 以一条边为底，另一条边为斜边所成三角形中，以该边为底的高和斜边所在直线交点就是该三角形所对应的顶点所在直线（即该三角形内心所在直线）。

二、面积公式

设三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，则它的面积S可以用海伦公式求得：

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p为半周长，即p = (a+b+c)/2。三、证明

假设在三角形ABC中，AD是BC上的高，AE是AB上的高，则有：

S(△ABC) = 1/2 × BC × AD S(△ABC) = 1/2 × AB × AE

由于AD=AE（因为D、E都在以B为圆心、BC为半径画圆得到圆弧DE），所以有：

BC × AD = AB × AE 即：

BC/AB = AE/AD

因为AE和AD都是角A的平分线，所以∠BAE=∠CAD，∠BAD=∠CAE，因此△ABE和△ACD是相似三角形。所以有：

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/486af8141411cc7931b765ce05087632311274bb.html

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