不可数闭集与实数等势 不可数闭集是指集合元素无限、不存在极限点的闭集。而实数是无限且连续的数轴上的点的集合，包括有理数和无理数。证明不可数闭集与实数等势，即对于任意一个不可数闭集，都可以寻找到与之一一对应的实数。可以从以下两个方面证明： 一、通过嵌套区间定理证明。对于任意一个不可数闭集，设它的逆是可数开集，并且它的任意一个非空开子集都至少包含一个区间，且这些区间彼此不交。因为区间是有理数的集合，而有理数是可数的，所以存在一一对应的关系。于是，可以按照如下方式找到关于实数的一一对应关系：对于不可数闭集中的每一个区间，选择其中的一个实数作为代表，对于不在任何区间中的点，也指定一个实数作为代表。这样就可以建立一个从不可数闭集到实数之间的一一对应关系。 二、通过对实数的构造证明。将实数表示为小数点后无限个数的十进制数，可以先找到一个区间，它的长度是一个全体实数中最小的一个数$\delta$。然后，取不可数闭集中的任意一点$x_1$，可以将它表示为一个小数，并将该小数表示小数点后的第一个位直到第$n$个位，以此来定义一个实数$y_1$。接着，寻找下一个点$x_2$，使得$x_2$在$x_1$的$\delta$邻域之外，并依次将$x_2$表示为小数，并将它的小数点后的第$n+1$个位到第$2n$个位赋值给$y_2$。重复上述过程，可以得到一组从不可数闭集到实数之间的一一对应关系。 因此，不可数闭集与实数等势。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5374bc20757f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f80.html