高中数学归纳法大全数列不等式精华版
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§ 数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立 的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关 的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 111111 证明：2＋22＋23＋…＋n－1＋2n＝1－2n(其中n∈N＋)． 2111[证明] (1)当n＝1时，左边＝2，右边＝1－2＝2，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即 1111112＋22＋23＋…＋2k－1＋2k＝1－2k， 那么当n＝k＋1时， 111111左边＝2＋22＋23＋…＋k－1＋2k＋k＋1 222－1111＝1－2k＋k＋1＝1－k＋1＝1－k＋1＝右边． 222这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立． 11111用数学归纳法证明：1－2＋3－4＋…＋－2n－12n111＝＋＋…＋2n. n＋1n＋2111[证明] ①当n＝1时，左边＝1－2＝2＝＝右边， 1＋1∴当n＝1时，等式成立． ②假设n＝k时等式成立，即 111111111－2＋3－4＋…＋－2k＝＋＋…＋2k. 2k－1k＋1k＋2则当n＝k＋1时， 1111111左边＝1－＋－＋…＋－＋－ 2342k－12k2k＋12k＋211111＝(＋＋…＋2k)＋－ k＋1k＋22k＋12k＋211111＝(＋…＋2k＋)＋(－) k＋22k＋1k＋12k＋2＝1111＋…＋2k＋＋＝右边． k＋22k＋12k＋2∴n＝k＋1时等式成立． 由①②知等式对任意n∈N＋都成立． [点评] 在利用归纳假设论证n＝k＋1等式成立时，注意分析n＝k与n＝k＋1的两个等式的差别．n＝k＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1111变到.因此在证明中，右式中的应与－合并，才k＋1k＋2k＋12k＋2能得到所证式．因此，在论证之前，把n＝k＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的． 证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式12n＋1111＋1＋…1＋352k－1＞2成立． 145[证明] ①当n＝2时，左＝1＋3＝3，右＝2，左＞右， ∴不等式成立． ②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立， 12k＋111即1＋31＋5…1＋2k－1＞2， 那么当n＝k＋1时， 1111＋1＋1＋…[1＋352k－121k＋12k＋12k＋2]＞2· －12k＋12k＋24k2＋8k＋44k2＋8k＋3＝＝＞ 22k＋122k＋122k＋1＝2k＋3·2k＋12＝2·2k＋1k＋12＋1， ∴n＝k＋1时，不等式也成立． ∴对一切大于1的自然数n，不等式成立． [点评] (1)本题证明n＝k＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了k＋1恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式＞2k＋12k＋12＋1成立． (2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤： • 第①步p(n0)成立是推理的基础; • 第②步由p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据(即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)． • 另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 . (2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：11111＋22＋32＋…＋n2<2－n (n≥2)． [分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． 1513[证明] 1°当n＝2时，1＋22＝4<2－2＝2，命题成立． 11112°假设n＝k时命题成立，即1＋22＋32＋…＋k2<2－k 111当n＝k＋1时，1＋22＋32＋…＋k2＋12－k＋＝2－1k＋12<2－1k＋12< 11＋kkk＋1111＝2－k＋k－ k＋11命题成立． k＋1由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立． 证明整除问题 用数学归纳法证明下列问题： (1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数； (2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除． [分析] (2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k. [证明] (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数． 假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)， 则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3 ＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8 ＝(3×52k1＋23k1)×8＋17×3×52k1 ＋＋＋＝8×17m＋3×17×52k＋1 ＝17(8m＋3×52k＋1)， ∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除， 即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数． (2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1 ①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除． ②假设f(k)能被9整除(k∈N*)， ∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除， ∴f(k＋1)能被9整除． 由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除． [点评] 用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证． (2014·南京一模)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N＋时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除． [证明] (1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立． (2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除． ∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立． 由(1)和(2)知，对于n∈N＋，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除． 几何问题 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分． [分析] 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决． [解析] ①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立． ②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成( k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立． [点评] 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设． 平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平nn－1行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)＝2. [分析] 找到从n＝k到n＝k＋1增加的交点的个数是解决本题的关键． [证明] (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个． 1又f(2)＝2×2×(2－1)＝1， ∴当n＝2时，命题成立． (2)假设n＝k(k≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个1数f(k)＝2k(k－1)， 那么，当n＝k＋1时， 1任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝2k(k－1)， l与其他k条直线交点个数为k. 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点， 1111即f(k＋1)＝f(k)＋k＝2k(k－1)＋k＝2k(k－1＋2)＝2k(k＋1)＝2(k＋1)[(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立． [点评] 关于几何题的证明，应分清k到k＋1的变化情况，建立k的递推关系． 探索延拓创新 归纳—猜想—证明 (2014·湖南常德4月，19)设a>0，f(x)＝ ax，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. a＋x(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． aa[解析] (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝1＋a2＋aa. 3＋a猜想 an＝an－1＋a(n∈N＋)． (2)证明：(ⅰ)易知，n＝1时，猜想正确． (ⅱ)假设n＝k时猜想正确， a即ak＝， k－1＋aak－1＋aa·ak＝f(ak)＝＝＝aa＋aka＋k－1＋aa·ak－1＋a＋1则a[k＋1ak＋1＝. －1]＋aan－1这说明，n＝k＋1时猜想正确． 由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n∈N＋，都有an＝＋a 11已知数列{xn}满足x1＝2，xn＋1＝，n∈N＋. 1＋xn(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； 12n－1(2)证明：|xn＋1－xn|≤6 5. 112513[解析] (1) 解: 由x1＝2及xn＋1＝，得x2＝3，x4＝8，x6＝21. 1＋xn由x2>x4>x6，猜想数列{x2n}是单调递减数列． 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，已证明x2>x4，命题成立． ②假设当n＝k时，命题成立，即x2k>x2k＋2. 易知xn>0，那么，当n＝k＋1时， 11x2k＋2－x2k＋4＝－＝1＋x2k＋11＋x2k＋3＝1＋x2kx2k－x2k＋21＋x2k＋11＋x2k＋2x2k＋3－x2k＋1 1＋x2k＋11＋x2k＋31＋x2k＋3>0， 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 综合①和②知，命题成立． 1(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝6，结论成立． 当n≥2时，易知0<xn－1<1. 11∴1＋xn－1<2，xn＝>2. 1＋xn－1151＋∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋x)＝2＋x≥－－n1n11＋xn－12. 11∴|xn＋1－xn|＝1＋x－1＋x＝nn－122≤5|xn－xn－1|≤52|xn－1－xn－2|≤…≤ 122n－15|x2－x1|＝5n－1. 6 |xn－xn－1| 1＋xn1＋xn－1易错辨误警示 判断2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1对大于0的自然数n是否都成立？若成立请给出证明． [误解] 假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立． [误解] 假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立． • [正解] 不成立．当n＝1时，左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边，所以不成立． [点评] 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的．特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤．本题中，虽然已经证明了：如果n＝k时等式成立，那么n＝k＋1时等式也成立．但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n∈N＋都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，上式左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边．而且等式对任何n都不成立．这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了． 1111用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝2×44×66×82n2n＋2n(n∈N＋)． 4n＋1[误解] (1) 略． (2) 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得 1111＋＋＋…＋2×44×66×82k2k＋2＋12k＋22k＋4 111111111＝22－4＋4－6＋…＋2k－2k＋2＋2k＋2－2k＋4 111＝22－2k＋4＝4[k＋1，即n＝k＋1时命题成立． k＋1＋1]111＝8，右边＝8，等式成立． 2×4[正解] (1)当n＝1时，左边＝(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， 1111k＋＋＋…＋＝成立． 2×44×66×82k2k＋24k＋1那么当n＝k＋1时， 11111＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k2k＋22k＋22k＋4＝＝k1＋ 4k＋14k＋1k＋2kk＋2＋1 4k＋1k＋2k＋12＝ 4k＋1k＋2 ＝k＋1k＋1＝. 4k＋24[k＋1＋1]所以当n＝k＋1时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切n∈N＋等式都成立． [点评] 这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证． 111n＋1用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n>2(n∈N＋)． 1＋113[误解] (1)当n＝1时，左边＝1＋2＝2，右边＝2＝1.显然左边>右边，即n＝1时命题成立． 111k＋1(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即1＋2＋3＋…＋2k>2. [正解] (1)略． 111k＋1(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋k>， 2322则当n＝k＋1时， 111111k＋1111＋2＋3＋…＋2k＋k＋k＋…＋k＋1>2＋k＋k＋… 2＋12＋222＋12＋2 ＋ k＋12kk＋11k＋1＋1＝2＋k＋1＝2＋2＝， 22 即n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可得对一切n∈N＋不等式都成立． [点评] 从n＝k到n＝k＋1时，增加的不止一项，应为k＋111k＋11k＋k，共有2项，并且＋>＋2也是错误的． 22＋2k2k＋12 11＋＋…2k＋12k＋2k＋1111>＋＋＋…＋ 2k＋122k＋12k＋12k＋11 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/59b6f866f4ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8dcc.html